圆知识点总结及归纳
一、知识清单一级标题宋体四号加粗
（一）圆的定义及方程二级标题宋体小四加粗定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)正文宋体五号标准方程(x －a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：，半径：
1、圆的标准方程与一般方程的互化三级标题宋体五号加粗（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0、（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：(x＋)2＋(y＋)2＝①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆；②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形、
2、圆的一般方程的特征是：x2和
y2项的系数都为1 ，没有 xy 的二次项、3、圆的一般方程中有三个待定的系数
D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、
（二）点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r
2、（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r
2、（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r
2、本处标题级数错误，应为
1、2、3三级标题(三)直线与圆的位置关系方法一：方法二：
（四）圆与圆的位置关系1 外离2外切3相交4内切5内含（五）圆的参数方程
（六）温馨提示
1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0、
2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算、（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上、（2）圆心在任一弦的中垂线上、（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线、
3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点
M(x，y)是线段AB的中点，则x＝，y＝、
二、典例归纳考点一：有关圆的标准方程的求法宋体小四加粗
【例1】
注意例题符号使用圆的圆心是，半径是、
【例2】
点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是(
)
A、(－1,1)
B、(0,1)
C、(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D、(1，＋∞)
【例3】
圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A、x2＋(y－2)2＝1
B、x2＋(y＋2)2＝1
C、(x－1)2＋(y－3)2＝1
D、x2＋(y－3)2＝1
【例4】
圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( )
A、(x－2)2＋y2＝5
B、x2＋(y－2)2＝5
C、(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D、x2＋(y＋2)2＝5
【变式1】
已知圆的方程为，则圆心坐标为
【变式2】
已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为
【变式3】
若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(
)
A、(x－3)2＋2＝1
B、(x－2)2＋(y－1)2＝1
C、(x－1)2＋(y－3)2＝1
D、2＋(y－1)2＝1
【变式4】
已知的顶点坐标分别是，，，求外接圆的方程、方法总结：宋体五号加粗
1、利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组、
2、利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用、考点
二、有关圆的一般方程的求法
【例1】
若方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆，则的取值范围是( )
A 、＜m＜1
B、m＜或m＞1
C、m＜
D、m＞1
【例2】
将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(
)
A、x＋y－1＝0
B、x＋y＋3＝0
C、x－y＋1＝0
D、x－y＋3＝0
【例3】
圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为
________、
【变式1】
已知点是圆上任意一点，P点关于直线的对称点也在圆C上，则实数=
【变式2】
已知一个圆经过点、，且圆心在上，求圆的方程、
【变式3】
平面直角坐标系中有四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
【变式4】
如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________________、方法总结：
1、利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E，F的方程组、
2、熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化考点
三、与圆有关的轨迹问题
【例1】
动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为(
)
A、x2＋y2＝32
B、x2＋y2＝16
C、(x－1)2＋y2＝16
D、x2＋(y－1)2＝16
【例2】
方程表示的曲线是（）
A、一条射线
B、一个圆
C、两条射线
D、半个圆
【例3】
在中，若点的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是（）
A、
B、
C、
D、
【例4】
已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹、求这个曲线的方程，并画出曲线、
【变式1】
方程所表示的曲线是（）
A、一个圆
B、两个圆
C、一个半圆
D、两个半圆
【变式2】
动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为(
)
A、x2＋y2＝32
B、x2＋y2＝16
C、(x－1)2＋y2＝16
D、x2＋(y－1)2＝16
【变式3】
如右图，过点M(－6,0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于
A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹、
【变式4】
如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程、方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程、(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程、(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等、考点四：与圆有关的最值问题
【例1】
已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________
【例2】
已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________、
【例3】
已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是(
)
A、
B、1
C、
D、
【例4】
已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________、
【变式1】
P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________、
【变式2】
由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是(
)
A、(－1,1)
B、(0,2)
C、(－2,0)
D、(1,3)
【变式3】
已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________、
【变式4】
已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上、（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P
A、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值、方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法（1）形如u＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题（2）形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；（3）形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题、（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：
（其中d为圆心到直线的距离）。