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一、选择题
1．以椭圆x2
13＋
y2
9＝1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是
()
A．y2＝413x B．y2＝－413x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
解析：由椭圆的方程知，a2＝13，b2＝9，焦点在x轴上，
∴c＝a2－b2＝13－9＝2，
∴抛物线的焦点为(－2,0)，
∴抛物线的标准方程是y2＝－8x.
答案： D
2．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．拋物线
解析：把直线x＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是拋物线的定义．
答案： D
3．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()
A．相离B．相交
C．相切D．不确定
解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，
则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
于是M到l的距离d＝1
2(|AA1|＋|BB1|)＝
1
2(|AF|＋|BF|)＝
1
2|AB|＝半
径，故相切．
答案： C
4．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()
A．y＝12x2B．y＝－36x2
C．y＝12x2或y＝－36x2D．y＝1
12x 2或y＝－
1
36x
2
解析：分两类a>0，a<0可得y＝1
12x
2，y＝－
1
36x
2.
答案： D
5．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||F A |－|FB ||的值等于( )
A ．4 2
B ．8
C ．8 2
D ．16
解析： 依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2y 2＝8x
，消去y 得x 2－12x ＋4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|
＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.
答案： C
6．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m
对称，且x 1x 2＝－12，则m 等于( )
A.32 B ．2
C.52 D ．3
解析： 设AB 所在直线的方程为y ＝－x ＋b ，
则由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x 2y ＝－x ＋b 得2x 2＋x －b ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－12x 1x 2＝－b 2，由已知得b ＝1，
于是y 1＋y 2＝－(x 1＋x 2)＋2b ＝52，
又AB 的中点在y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.
答案： A
二、填空题
7．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是________．
解析： ∵抛物线方程为x 2＝－12y ，
∴－2p ＝－12，且焦点在y 轴的负半轴上，
∴准线方程为y ＝3.
答案： y ＝3
8．(2018·重庆卷)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物
线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.
解析： 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2，∴x 0＝1， 则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.
答案： 2
9．已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，
当水面上升12米后，水面的宽度是________．
解析： 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，
水面上升12米，则y ＝－32代入方程，得x 2＝－8·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＝12，x ＝±2 3.
故水面宽43米．
答案： 43米
三、解答题
10．拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个
交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，6，求拋物线与双曲线方程． 解析： 由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c ，设拋物线方程为y 2＝4c ·x .
∵拋物线过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，6，∴6＝4c ·32. ∴c ＝1，故拋物线方程为y 2＝4x .
又双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，6， ∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a 2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．
∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1.
11．如图所示，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、
B 为端点的曲线段
C 上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |＝17，|AN |＝3，且|NB |＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．
【解析方法代码108001114】
解析： 以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段．其中A 、B 分别为曲线段C 的端点．
设曲线段C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p ＝|MN |，
∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0、N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0. 由|AM |＝17，|AN |＝3，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x A ＋p 22＋2px A ＝17， ① ⎝
⎛⎭⎪⎫x A －p 22＋2px A ＝9.② 联立①②，解得x A ＝4p ，代入①式，并由p ＞0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，x A ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝2，x A
＝2. ∵△AMN 为锐角三角形，∴p 2＞x A .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，x A ＝1.
由点B 在曲线段C 上，得x B ＝|BN |－p 2＝4.
综上，曲线C 的方程为y 2＝8x (1≤x ≤4，y >0)．
12．(2018·山东济南一模)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .
(1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1
于点R ，求RP →·RQ →的最小值. 【解析方法代码108001115】
解析： (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，
∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .
(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，
与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.
∵直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2k ，－1， R P →·R Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2＋1k 2＋8， ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号．
R P →·R Q →≥4×2＋8＝16，即R P →·R Q →的最小值为16.。