ri vi ri qk k 1 qk
N
ri ri 1 1 1 T mi vi vi mi qk ql mkl qk ql 2 k , l 1 2 i 1 2 i 1 k 1 qk q l l 1
n
n
N
M1-7
[例 ]
楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重
Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆 柱体位于斜面最高点。
试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能
量积分与循环积分。
解：研究楔形体与圆柱体组成 的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ；各坐标原点
T V C2
当t =0时， s 0 代入上式中，得
C1 C2 0 (2m1 m2 ) R2 2m1sR cos 0
1 [2m s 2 (2m m ) R2 2 4m sR cos ] m gs sin 0 1 1 2 1 1 4
化简，得
2m1 s cos (2m1 m2 ) R
2 2m1 sin 2 m2 2 s 2 gs sin 0 (2m1 m2 )
M1-14
2m1 s cos (2m1 m2 ) R
2 2 2m1 sin
m2 2 s 2 gs sin 0 (2m1 m2 )
N
N
其中
ri ri mkl mi q q k l i 1
M1-2
n
是广义坐标的函数，称为广义质量
很容易证明
T q 2T k q k k 1
N
注意势能 V 不含 qi 项，可得
L q (T V ) q 2T k k q q k k k 1 k 1
n
ri ri 1 mi qk ql 1 2 k，l 1 i 1 ql qk 2
n
N
n
k , l 1
mkl qk ql
N
ri ri mkl mi qk ql i 1
M1-19
均在初始位置。
M1-8
我们已知道系统动能和势能为
1 V Ph Q (h s sin r cos ) 3
P Q 2 3 Q 2 Q 1 T x s xs cos 2 g 4g g
1 P Q x 2 3 Q s 2 Q xs cos 1 Ph Q(h s sin r cos ) C 1 2 g 4g g 3
解：系统受理想、完整、定常约束，
具有两个自由度。取广义坐标为, s ；
各坐标原点均在初始位置。
M1-11
小球的动能
T1 1 m1v12 2 1 m1[vr 2 ve 2 2vr ve cos(180 )] 2 1 m1 (s 2 R2 2 2sR cos ) 2 圆柱体的动能 T2 1 J 2 1 m2 R 2 2 2 4 系统的动能
N N
d d T d L 2 (2T L) 0 dt dt dt 积分上式，可得。
2T L C T V C
M1-4
积分上式，可得。
T V C
上式是保守系统的机械能守恒定律，也称为保守系统的广义能
量守恒。也称为保守系统的拉格朗日方程的能量积分。
M1-5
二、循环积分 如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qk , 则该坐标 称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。 当 qk (k N ) 为系统的循环坐标时，必有
d L L L qk qk qk dt qk qk qk k 1 d L L L qk qk qk qk dt k 1 qk k 1 qk
N
2T
M1-17
T 1 mkl qk ql 1 (m11q1q1 m12q1q2 m21q2q1 m22q2q2 ) 2 k , l 1 2
2
T 1 (2m q 2m q ) m q m q m q 11 1 12 2 11 1 12 2 1l l q1 2 l 1
当t =0时， x s 0 ，x = s = 0 , 代入上式中，得
1 C1 Ph Q ( h rcos ) 3 1 P Q x 2 3 Q s 2 Q xs cos Q s sin 0 2 g 4g g
M1-9
由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故 x 为系统循环 坐标，故有循环积分：
由于拉格朗日函数L中不显含时间t，广义坐标，故为 系统循环坐标，故有循环积分和能量积分。
L C 1
T V C2
M1-13
L C 1
1 [(2m m ) R2 2m sR cos ] C 1 2 1 1 2
1 [2m s 2 (2m m ) R2 2 4m sR cos ] m gs sin C 1 1 2 1 1 2 4
L T P Q Q Px x scos C2 x x g g
s 0 ，故上式中C2 = 0 ，可得 t = 0时 x
( P Q ) x Qs cos 0
1 P Q x 2 3 Q s 2 Q xs cos Q s sin 0 2 g 4g g
当ssin =h ，得
2 2m1 sin 2 m2 2 s 2 gh 0 (2m1 m2 )
(2m1 m2 )2 gh s 2m1 sin 2 m2 2m1 cos 2 gh R (2m1 m2 )(2m1 sin 2 m2 )
M1-15
M1-16
上两式即为系统的能量积分和循环积分。 第二式实际上是
系统的机械能守恒方程。 第一式实质上是系统的动量在x方向 守恒。
M1-10
[例] 一均质圆柱体可绕其垂直中心轴自由
转动，圆柱表面刻有倾角为 的螺旋槽。 小球 M 自静止沿槽下滑，已知小球质量为
m1圆柱体质量为m2，半径为R，
试求：小球下降高度为 h 时，小球相对圆 柱体的速度，圆柱体的角速度。
T 1 (2m q 2m q ) m q m q m q 21 1 22 2 21 1 22 2 2l l q2 2 l 1
2
2
T m q kl l qk l 1
N
M1-18
n N N 1 r r 1 i i T mi vi vi mi qk ql 2 i 1 2 i 1 k 1 qk ql l 1 n N N N ri ri ri ri 1 1 qk ql mi qk ql mi 2 i 1 k 1 l 1 ql qk 2 i 1 k，l 1 ql qk n
N N
d L L 0 将方程 两边乘 qk 对k求和 dt qk qk
d L dt qk k 1
N
q L q 0 k q k k
M1-3
d L dt qq 0 k q k k
pk称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量 积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一
次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。 一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止 一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。
于是拉氏方程成为
L 0 qk
d ( L ) L 0 dt qk qk
积分得：
L C qk
(k N )
称为拉格朗日方程的循环积分
M1-6
因L = T - V，而V中不显含 qk ，故上式可写成
L (T V ) T p C k qk qk qk
1-6
拉格朗日第二类方程的积分
拉格朗日第二类方程的求解需要对拉格朗日第二类方程进行 积分。
对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的
首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简 化。
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环
积分。
M1-1
一、能量积分 设系统所受的约束为定常约束，则 ri ri ( q1 , q2 , ... qN ) 中不 显含t ，则
T T1 T2
M1-12
系统的势能（取小球的起点为势能零点）：
V m1 gs sin
系统的拉格朗日函数为
2 2 2 2 2 1 1 L m1 (s R 2sR cos ) m2 R m1gs sin 2 4 2 2 2 1 L [2m1s (2m1 m2 ) R 4m1sR cos ] m1gs sin 4
1 T mkl qk ql 2 k , l 1 T m q kl l qk l 1
N T q mkl ql qk qk k k 1 k 1 l 1 N N
N
N
T q qk k k 1
N
k ,l 1
mkl qk ql