和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数
学技巧。
M1-8
应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不 能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。 2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力 Q j ( j 1,2,
M1-16
Q 2 1 1 1 2 2 T J O v A J A A 2 2g 2 2 Q Q ( R r ) 1 1 P 1 1 1 2 ( R r )2 2 ( R r )2 2 r2 23 g 2g 2 2g r2
δW Mδ

2 P 9Q 1 ( R r )2 2 12 g
势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数
L T V L( qk , qk , t )
为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用 等性质的特征函数。 保守体系的拉格朗日方程为：
d ( L ) L 0 dt qk qk
想一想：上式的成立、适用条件是什么？
M1-6
3. 对拉格朗日方程的评价
n ri ri V Qk Fi V qk ri qk qk i 1 i 1
n xi ri yi zi Qk Fi Fix Fiy Fiz q q q q i 1 i 1 k k k k n
n
1 m v2 2 i i i 1
n
d T T dt qk qk
M1-3
由
ri Qk mi ri q k i 1
可得
n
k 1, 2,
N
d T T Q k dt qk qk
k 1, 2,
N
为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。 其中：
Qk Fi
i 1 n
ri qk
——主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量 （不包含约束反力）
1 T mi vi2 ——体系相对惯性系的动能 2 i 1
pk T ——广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量 qk
M1-4
n
2. 保守体系的拉格朗日方程
如果主动力都是保守力，即 F V ，则为广义力
ri d mi ri dt q k i 1
m r ri i i q k i 1
1 m r r 2 i i i i 1
n
n
n
n
q k
d dt qk
1 m v2 2 i i qk i 1
拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步：就是把主动力的虚功改 造为广义力虚功。 拉格朗日改造动力学普遍方程的第二步：就是改造惯性虚功项， 使之与系统的动能的变化联系起来。
n
ri (Fi mi ri ) qk 0 i 1
n
k 1, 2,
N
M1-2
变换
1.
n
ri ri qk qk
d ( L ) L 0 dt qk qk
(m1 2m2 ) x k ( 0 x) m1 g 0
M1-11
注意到
k 0 m1g
可得系统的运动微分方程
(m1 2m2 ) x kx 0
以物块平衡位置为原点：可使方程形式简单。
(m1 2m2 ) x kx m1 g
n
因qk是独立的，所以
ri (Fi mi ri ) qk 0 i 1
注意广义力可得
n
k 1, 2,
N
M1-1
注意到广义力可得
ri Qk mi ri k 1, 2, N qk i 1 上式中的第二项与广义力相对应，称为广义惯性力。
上式应用起来很不方便。我们要作变换
由拉格朗日方程
d ( T ) T Q 得 k dt qk qk
m2l (l cos x1 x1 sin ) m2 gl sin
(l cos x1 x1 sin ) g sin
M1-15
[例] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O
动能定理也可方便的求解。
M1-12
已知：M1的质量为m1， M2的质量为m2， 杆长为l。 试建立此系统的运动微分方程。 解：图示机构为两个自由度，取x1， 为广义坐标，则有。
x2 x1 l sin
求导：
y1 0 y1 0
y2 l cos y2 l sin
(1) 拉氏方程的特点（优点）： 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简 洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。
方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已
知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越 多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。
平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为m2。
试列出该系统的运动微分方程。 解：将弹簧力计入主动力， 则系统成为具有完整、理想 约束的二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义坐标，
x 轴 原点位于弹簧自然长度 位置， 逆时针转向为正。
M1-19
系统动能：
2 vB ( x l cos ) 2 (l sin ) 2 x 2 l 2 2 2 xl cos
x2 x1 l cos
系统动能：
1 1 2 2 2 T m1 x1 m2 ( x2 y2 ) 2 2 m2l 1 2 (m1 m2 ) x1 (l 2 2 x1 cos ) 2 2
M1-13
系统势能：（选质点 M2 在最低位置为零势能位置）
V m2 gl (1 cos )
n
V xi V yi V zi V xi qk yi qk zi qk qk i 1
n
M1-5
2. 保守体系的拉格朗日方程 将Qk代入拉格朗日方程式，得
d ( T ) T V 0 dt qk qk qk
1—5 第二类拉格朗日方程
1. 基本形式的拉格朗日方程
质点 i 的虚位移
ri ri qk k 1 qk
n N N
N
i 1,2,3,
n
将上式代入动力学普遍方程（3-15）式：
ri ri [ ( Fi mi ri ) ]qk 0 (Fi mi ri ) qk qk qk k 1 i 1 i 1 k 1
Q W M
T 1 2 P 9Q ( R r )2 6 g d T 1 2 P 9Q ( R r )2 dt 6 g
T 0
M1-17
代入拉氏方程：
1 2 P 9Q ( R r ) 2 0 M 6 g 6M g 2 (2 P 9Q )( R r )
积分，得：

3M 2 gt C1t C2 2 ( P 9Q )( R r )
0 0 得 C1 C2 0 0 0 , 代入初始条件，t =0 时，
故：
3M 2 gt ( 2 P 9Q )( R r ) 2
M1-18
例：与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水
求导运算可得：
T (m m ) x m l cos 1 2 1 2 x1
T 0 x1
V Qx1 0 x1
d T (m m ) x m l cos m l 2 sin 1 2 1 2 2 dt x1
d ( T ) T Q k 得 由拉格朗日方程 dt q q k k
点)
1 V kx 2 m2 gl cos 2
拉格朗日函数：
L T V 1 ( m1 m2 ) x 2 1 m2l 2 2 m2 xl cos 1 kx 2 m2 gl cos 2 2 2
M1-21
1 1 1 2 2 2 L (m1 m2 ) x m2l m2 xl cos kx 2 m2 gl cos 2 2 2
(m1 m2 ) x1 m2l cos m2l 2 sin 0
M1-14
同理：
T m l 2 m lx cos 2 2 1
T m lx sin 2 1
Q V m2 gl sin
d T m l (l cos x x sin ) 2 1 1 dt
M1-10
系统动能：
2 2 T 1 m1 x 2 1 J BB 1 J I A 2 2 2 2 2 1 m1 x 2 1 1 m2 R 2B 1 3 m2 R 2A 2 22 22
m1 2m2 2 x 2
系统的拉格朗日函数（动势）
m1 2m2 2 1 x k ( 0 x ) 2 m1 gx L T V 2 2 代入拉格朗日方程
拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理
学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其 他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的 桥梁。
M1-7
3. 对拉格朗日方程的评价
(2) 拉氏方程的价值
拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的
规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题 提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义
n
2.
d ri dt qk
ri q k
ri ri d ri mi ri qk mi dt q k i 1 i 1