习题10−1 一工字型钢梁,在跨中作用集中力F ,已知l =6m ,F =20kN ,工字钢的型号为20a ,求梁中的最大正应力。
解:梁内的最大弯矩发生在跨中 kN.m 30max =M查表知20a 工字钢 3cm 237=z W则 MPa 6.126Pa 106.126102371030663max max =⨯=⨯⨯==-z W M σ 10−2 一矩形截面简支梁,受均布荷载作用,梁的长度为l ,截面高度为h ,宽度为b ,材料的弹性模量为E ,试求梁下边缘的总伸长。
解:梁的弯矩方程为 ()22121qx qlx x M -=则曲率方程为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2212111qx qlx EI EI x M x z z ρ 梁下边缘的线应变 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2212122qx qlx EI hx h x zρε下边缘伸长为 ()23020221212Ebh ql dx qx qlx EI h dx x l lz l=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∆⎰⎰ε 10−3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲,当截面为下列形状时,试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。
解:各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。
中性轴侧产生拉应力,另一侧产生压应力。
10−4 一对称T 形截面的外伸梁,梁上作用均布荷载,梁的尺寸如图所示,已知l =1.5m,q =8KN/m ,求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。
bh解:1、设截面的形心到下边缘距离为y 1则有cm 33.741084104104841=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=y则形心到上边缘距离 cm 67.433.7122=-=y于是截面对中性轴的惯性距为42323cm 0.86467.24101241033.3841284=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=z I 2、作梁的弯矩图设最大正弯矩所在截面为D ,最大负弯矩所在截面为E ,则在D 截面MPa 08.15Pa 1008.15100.8641033.710778.168231max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ MPa 61.9Pa 1061.9100.8641067.410778.168232max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ 在E 截面上MPa 40.5Pa 1040.5100.8641067.4100.168232max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ MPa 48.8Pa 1048.8100.8641033.7100.168231max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ 所以梁内MPa 08.15max t,=σ,MPa61.9max c,=σ10−5 一矩形截面简支梁,跨中作用集中力F ,已知l =4m ,b =120mm ,h =180mm ,弯曲时材料的许用应力[Cσ]=10Mpa ,求梁能承受的最大荷载F max 。
解:梁内的最大弯矩发生在跨中 4maxFl M =矩形截面梁 62bh W z =则由 []σσ≤=z W M max max 得 []642bh Fl σ≤即 []N 64804318.012.021*******2=⨯⨯⨯⨯⨯=≤l bh F σ 10−6 由两个28a 号槽钢组成的简支梁,如图所示,已知该梁材料为Q235钢,其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa ,求梁的许可荷载[F ]。
解:作弯矩图梁内的最大弯矩发生在跨中 F M 4max=矩形截面梁 3'max'max cm 656.6802====z z z z W y I y I W则由 []σσ≤=zW M maxmax得 []z W F σ≤4 即 []N 28927410656.68010170466=⨯⨯⨯=≤-zW F σ10−7 圆形截面木梁,梁上荷载如图所示,已知l =3m ,F =3kN ,q =3kN/m ,弯曲时木材的许用应力bh[σ]=10MPa ,试选择圆木的直径d 。
解:作弯矩图则由 []σσ≤=z W M max max得 []σmax MW z ≥ 即633101010332⨯⨯≤d π,得145mm m 145.0=≥d10−8 起重机连同配重等重P =50kN ,行走于两根工字钢所组成的简支梁上,如图所示。
起重机的起重量F =10kN ,梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa ,试选择工字钢的型号。
设全部荷载平均分配在两根梁上。
解:设起重机左轮距A 端为x ,则有 2650x M C-=,803862++-=x x M D从而确定出 kN.m2.104max=C M ,kN.m2.140max=D M即梁内出现的最大弯矩为kN.m 2.140则由 []σσ≤=zW M max max 得 []3463max m 1025.810170102.140-⨯=⨯⨯=≥σM W z 又对于本题 'max'max 2z z z z W y I y I W ===所以3344'cm 5.412m 10125.421025.82=⨯=⨯==--z zW W2.042kN.m查表选 25b 号工字钢。
10−9 两个矩形截面的简支木梁,其跨度、荷载及截面面积都相同,一个是整体,另一个是由两根方木叠置而成,试分别计算二梁中的最大正应力。
解:1、第一种情况梁内的最大弯矩发生在跨中 82max ql M =矩形截面梁 32632a bh W z ==则 3332max max 163283a ql a ql W M z =⨯⨯==σ2、第二种情况梁内的最大弯矩发生在跨中 162max ql M =矩形截面梁 6632a bh W z == 则 3332max max 83166a ql a ql W M z =⨯⨯==σ 10−10 直径d =0.6mm 的钢丝绕在直径D =600mm 的圆筒上,已知钢丝的弹性模量E =2×105MPa ,试求钢丝中的最大正应力。
解: 由zEI M =ρ1得N.m 1024115.4103.03.064106.01023312411---⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯==πρzEI M200MPa Pa 1020032106.01024115.43269333max =⨯=⨯⨯⨯===--ππσd M W M z或 200MPa Pa 10200103.03.0103.010263311maxmax=⨯=⨯+⨯⨯⨯==--ρσEy10−11 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。
已知F =5kN ,a =1.5m ,[σ]=10Mpa 。
试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比h :b ,以及梁所需木料的最小直径d 。
解:()66222b d b bh W z -==由06322=-=b d db dW z 得 d b 33=,又022<-=b db W d z 所以d b 33=时 z W 取极大值,所以弯曲截面系数最大时,d b33=,d h 36=,即 1:2:=bh梁内的最大弯矩 kN.m5.7max==Fa M矩形截面梁 322736d bh W z == 则由 []σσ≤=z W M max max 得 []σmax MW z ≥ 即[]σmax3273M d ≥[]227mm m 227.01010105.739393633max==⨯⨯⨯=≥σM d10−12 一铸铁梁如图所示。
已知材料的拉伸强度极限σb =150Mpa ,压缩强度极限σbc =630Mpa ,试求梁的安全因数。
解:1、设截面形心距离下边缘为y 1 则有mm33.532160104016021201601020401601=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=y则形心到上边缘距离m m 67.14633.532002=-=y于是截面对中性轴的惯性距为42323mm4.29013333267.6616010121601033.33401601240160=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=z I 2、作梁的弯矩图C 截面MPa 057.22Pa 10057.22104.290133331033.531012612331max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z C σ MPa 663.60Pa 10663.60104.290133331067.1461012612332max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z C σ B 截面上MPa 442.40Pa 10442.40104.290133331067.146108612332max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z B σ MPa 705.14Pa 10705.14104.290133331033.53108612331max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z B σ 所以有 709.3442.40150t==n , t c 385.10663.60630n n >== ,取安全系数为3.709。
10−13 一简支工字型钢梁,工字钢的型号为28a ,梁上荷载如图所示,已知l =6m ,F 1=60kN ,F 2=40kN ,q =8kN/m ,钢材的许用应力[σ]=170Mpa ,[τ]=100Mpa ,试校核梁的强度。
解:作内力图则有 MPa 8.170Pa 108.1701015.508108.86663max max =⨯=⨯⨯==-z W M σ 而[][]%5%47.01701708.170max <=-=-σσσ][MPa 56.38Pa 1056.380085.01062.24107.80623max,max S,max ττ<=⨯=⨯⨯⨯==-bI S F z z 10−14 一简支工字型钢梁,梁上荷载如图所示,已知l =6m ,q =6kN/m ,F =20kN ,钢材的许用应力[σ]=170Mpa ,[τ]=100Mpa ,试选择工字钢的型号。
解:作内力图由 []σσ≤=zW M max max 得 []33463max cm 3.335m 10353.3101701057=⨯=⨯⨯=≥-σM W z 查表选25a (考虑5%误差可以选则22b ) 。
对于所选型号,梁内出现的最大切应力为][MPa 21.16Pa 1021.16008.01058.211028623max,max S,max ττ<=⨯=⨯⨯⨯==-b I S F z z28kN57kN.m28kN(如为22b ,[]ττ<=MPa 8.15max ) 所以工字钢型号为25a (或22b )。
10−15 由工字钢制成的简支梁受力如图所示。