辽宁省沈阳市2019年数学高一上学期期末考试试题
一、选择题
1．已知平面向量a ，b 满足1a =，2b =，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．
56
π B ．
6
π C ．
23
π D ．
3
π 2．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x
f x m =-，则
()2019f =（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
3．已知0a >且1a ≠，函数()24,0()log 1,0
a x a x f x x x ⎧-+-≤⎪=⎨
+>⎪⎩，满足对任意实数1212,()x x x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是( )
A.(]1,2
B.(]
2,3
C.72,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D.()2,3
4．已知函数(
)
2
32m
f x m m x （
）=-是幂函数，若f （x ）为增函数，则m 等于（ ） A ．1
3
-
B ．1-
C ．1
D ．13
-或1
5．给出下列结论：
（1）某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862．
（2）甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲． （3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1．
（4）对A 、B 、C 三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30．则正确的个数是（ ） A.3 B.2
C.1
D.0
6．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率
是（ ） A.
25
B.
35
C.
23
D.
15
7．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A.{1} B.{3，5}
C.{1，2，4，6}
D.{1，2，3，4，5}
8．记集合(){}
2
2,|16A x y x
y =
+≤，集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为（ ） A ．
2
4ππ
- B ．
32
4ππ
+ C ．
2
4ππ
+ D ．
32
4ππ
- 9．点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 10．函数
（其中
，
）的部分图象如图所示，为了得到
的图象，则只要将
的图象（ ）
A ．向左平移个单位长度
B ．向右平移个单位长度
C ．向左平移个单位长度
D ．向右平移个单位长度
11．已知函数（为自然对数的底数），若对任意，不等式都成
立，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．下列函数中，图象的一部分如图所示的是 （ ）
A ．sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．cos 43y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
D ．cos 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
二、填空题
13．(
)
21log 5223(lg5)lg2lg5lg20log 3log 82++⋅+-⋅+=______．
14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若
cos cos b A a B +=，且22sin sin a A b A =+，则A =__________．
15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2A B =，则cos A =_______. （仅用边,a b 表示）
16．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin
2
n n n a a π++-=，记n
S
为数列{}n a 的前n 项和，则
2019S =_________.
三、解答题
17．已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km 的直线型水路，一艘游轮以/xkm h 的速度航行时(考虑到航线安全要求2050)x ≤≤，每小时使用的燃料费用为40x k -万元(k 为常数，且11
)155
k ≤≤，其他费用为每小时
1
x
万元． ()1若游轮以30/km h 的速度航行时，每小时使用的燃料费用为
5
8
万元，要使每小时的所有费用不超过9
10
万元，求x 的取值范围； ()2求该游轮单程航行所需总费用的最小值．
18．已知长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是线段1CC ，1BB 的中点，11
2
AB BC AA ==. （1）证明：1A E ⊥平面BDE ； （2）证明：平面1//AC F 平面BDE .
19．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在A 、B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h ，2 h ，加工一件乙产品所需工时分别为2 h ，1 h ，A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400 h 和500 h ，分别用x ，y 表示计划每月生产甲、乙产品的件数．
(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大？并求出最大收入．
20．如图C,D 是以AB
为直径的圆上的两点，2AB AD AC BC ===,F 是AB 上的一点，且
1
3
AF AB =,将圆沿AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD
上，已知CE =
（1）求证：AD ⊥平面BCE （2）求证：AD//平面CEF ； （3）求三棱锥A-CFD 的体积.
21．已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中，每一行的第一个数1a ，2a ，4a ，
7a ，…构成等差数列{}n b ，n S 是{}n b 的前n 项和，且11==1b a ，5=15S
（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值； （2）设12
2111
n n n n
T S S S ++=
+++
，对任意*n N ∈，求n T 及n T 的最大值． 22．已知两条直线．
（1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值．
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一、选择题
13．9 14．30°
15．2
212a b -
16．1010
三、解答题
17．（1）[]
20,40；（2）略 18．详略
19．（1）略（2）安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．
20．（1）参考解析；（2）参考解析；21．(1) 50160a =(2) 2(1)(21)n n T n n =++,()max 1
3
n T =.
22．（1）；（2）
.。