Y 相互独立，则 X Y ~ 2 (m n)
注：类似具有可加性的分布还有二项分布，泊松分布，正态分布。 (3) 分位数
设X
~ 2 (n) ，记它的
p
分位数为
2 p
(n)
，即
2 p
(n)
满足
P( X
2 p
(n))
p
（2）T分布
1、定义
设 X ~ N(0,1) ，Y ~ 2 (n) ， X 与Y 相互独立，
（1）卡方分布 （2）T分布 （3）F分布
（1）卡方分布
1、定义
设随机变量 X1, X 2 ,, X n 独立同分布
n
且 Xi ~ N (0,1) ，则U
X
2 i
~
2 (n)
，
i 1
n 为自由度。
2、性质 （1）U ~ 2 (n) 时， E(U ) n, D(U ) 2n ；
（2） 2 分布具有可加性：设 X ~ 2 (m) ，Y ~ 2 (n) ， X 与
(Xi
i 1
2
X )2
~
2 (n 1) ，即 nS 2 2
~ 2 (n 1)
（4） X 与 S 2 相互独立
（5） X n 1 ~ t(n 1)
S
注意：对于有限总体，不同的抽样方式可以有不同的样本分布。
定义：
第二节 统计量
完全由样本确定的量为统计量，从数学观点来看，
统计量是样本的函数，即T T ( X1, X 2 ,, X n )。
目的：
用样本的统计量去估计总体分布描述中的未知参
数。
二、常用统计量
（1）样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
（2）样本方差
独立。
（i）有放回抽样
n
n
xi
n xi
P( X1 x1, , X n xn ) i1 (1 ) i1
(xi 0或1,i 1, , n)
（ii）无放回抽样
P( X1 x1,
N N (1 )
, X n xn )
t
t
N
n
n
(t xi , xi 0或1,i 1, , n) i 1
（4）样本的极差： R xn x1
（5）样本的四分位间距： H QU QL
其中 QU ,QL 分别为数据的上、下四分位数。
（6）样本相关系数： rxy
n
xi
x yi
y
i 1
n
xi
x 2
n
yi
y 2
i 1
i 1
第三节 抽样分布
一、有限总体的抽样分布
定理 1：设总体中个数总数（也称总体大小）为 N，样本容量为 n（<N）
第八章 统计量和抽样分布
第一节 统计与统计学 第二节 统计量 第三节 抽样分布
第一节 统计与统计学
一、统计的研究对象 （1）必须是“大量的”现象 （2）不是研究现象本身，而是现象所表征的
数量特征和数量关系。 （3）统计既是纯粹数学，也非具体的行为科
学，有广泛的应用领域。
二、总体和个体
总体即研究对象全体或者说是服从一 定分布的统计指标；每个对象，或对 象的数量特征称之为个体。
未知。今分别按有放回和无放回两种方法从中随机抽取 n( N ) 件。定义
1 Xi 0
第i次抽得次品； （i=1, 第i次抽得正品
,n）
X1, , X n 即是样本。且在有放回时，X1, , X n 是独立同分布，其公共
分布是参数为 的 0－1 分布；在无放回时， X1, , X n 有相同分布但不
1、定义
设 X ~ 2 (m) ，Y ~ 2 (n) ， X 与Y 相互独立，
则 F X m ~ F (m, n) ，m 为第一自由度、n 为第二自由度。 Yn
2、分位数
设 X ~ F( m, n，) 记它的 p 分位数为 Fp (m, n) ， 即 Fp (m, n) 满足 P(X Fp (m, n)) p 。
则T X ~ t(n) ，n 为自由度。 Yn
2、分位数
设 X ~ t(n) ，记它的 p 分位数为 t p (n) ，即 t p (n) 满足 P(X t p (n)) p
根据 t-分布密度函数的对称性，有性质
t p (n) = t1 p (n)
该性质类似正态分布的结果。
（3）F分布
• 例：某厂生产大批某种型号的元件，从某 天生产的元件中随机抽取若干个进行寿命 试验。总体就是该厂某种型号的全部元件， 由于关心的是元件的寿命，因此也可以说， 总体是具有某种分布的元件寿命，而每个 元件，是个体。
例 3（P115）（抽样检查）设批量为 N 的产品，其中次品数为 N , 0 1
S2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
样本标准差 S ˆ
1 n
n i 1
(Xi
X )2
（修正样本方差）
Sn2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
（3）样本中位数：
med
1
2
x( n1) 2
(
x
(
n
)
x
(
n
1)
)
2
2
当n为奇数 当n为偶数
其中： x1 x2 xn 是数据 x1, x2 ,, xn 由小到大的重排。
3、性质：
Fp
(m,
n)
=
F1
p
1 (n,
m)
三、正态总体下的抽样分布
设总体 X ~ N (, 2 ) ，( X1, X 2 ,, X n )为取自
该总体的一组样本
（1） X ~ N (, 2 ) ，即 X n ~ N (0,1)
n
n
(Xi )2
（2） i1 2
~ 2 (n)
n
（3）
且总体有有限均值 E( X ) ，方差 D( X ) 2 ，( X1, X 2 ,, X n )为取自该
总体的一个样本，
则（1） E( X ) ，
（2）当抽样是有放回时 ( X ) ，
n
当抽样中 ( X ) 即为 X 的标准差
二、三个重要分布