2014届万学海文公共课学员 基础阶段测试题
数学三
答题注意事项
1. 考试要求
考试时间：180分钟满分：150分.
2. 基本信息
学员姓名:____________ 分数:____________
一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)
设20,()(),0,x f x x g x x >=≤⎩
其中()g x 是有界函数,则()f x 0x =在处 ( ) (A) 极限不存在． (B) 极限存在,但不连续． (C) 连续,但不可导． (D) 可导． (2) 曲线11x
x
y e
−+=
−有渐近线 ( ) (A) 0条． (B) 1条． (C) 2条． (D) 3条．
(3) 设平面区域D 由1
0,0,,14x y x y x y ==+=
+=围成,若()31ln ,D I x y dxdy =+⎡⎤⎣⎦∫∫ ()()3
3
23,sin D
D
I x y dxdy I x y dxdy =+=+⎡⎤⎣⎦∫∫∫∫,则有 ( )
(A) 123I I I <<． (B) 132I I I <<． (C) 321I I I <<． (D) 312I I I <<．
(4) 二元函数22
, (,)(0,0),(,)0, (,)(0,0)xy
x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩
在点(0,0)处 ( )
(A) 连续,偏导数存在. (B) 连续,偏导数不存在. (C) 不连续,偏导数存在. (D) 不连续,偏导数不存在.
(5) 设1123a a a α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,1223b b b α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,1323c c c α⎛⎞⎜⎟
=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
,则三条直线1110a x b y c ++=,2220a x b y c ++=,
3330a x b y c ++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是 ( )
(A) 123,,ααα线性相关． (B) 123,,ααα线性无关．
(C)
123,,ααα线性相关,12,αα线性无关．
(D) 秩123(,,)ααα=秩12(,)αα．
(6) 设A 是m n ×矩阵,B 是n m ×矩阵,则 ( )
(A) 当m n >时,必有行列式0AB ≠． (B) 当m n >时,必有行列式0AB =． (C) 当n m >时,必有行列式0AB ≠． (D) 当n m >时,必有行列式0AB =．
(7) 设二维随机变量(),X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=−不相关的充要条件为( )
(A) ()()()()2
2
2
2
E X
E X E Y
E Y −=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦
⎣⎦
．
(B) ()()E X E Y =．
(C) ()()2
2
E X
E Y =． (D) ()()()()2
2
2
2
E X E X E Y E Y +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
．
(8) 设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为()1f x 和()2f x ,分布函数分别为()1F x 和()2F x ,则 ( )
(A) ()()12F x F x +必为某一随机变量的分布函数． (B) ()()12F x F x 必为某一随机变量的分布函数． (C) ()()12f x f x +必为某一随机变量的概率密度． (D) ()()12f x f x 必为某一随机变量的概率密度．
二、填空题(本小题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)
(9) 201
3sin cos
lim
(1cos )ln(1)
x x x x x x →+=++ . (10) 设1
()(),,z f xy y x y f x
ϕϕ=++具有二阶连续导数,则
2z x y ∂=∂∂ . (11) 设幂级数
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径为3,则幂级数
1
1
(1)
n n
n na x ∞
+=−∑的收敛区间为 .
(12) 微分方程230y y y ′′′−−=的通解为 . (13) 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 . (14) 设随机变量X 服从正态分布()()2,0N
μσσ>,且二次方程240y y X ++=无实根的概率为12
,则
μ= .
三、解答题(本题共9小题,满分94分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(15) (本题满分10分)
设()f x 连续,1
()(),x f xt dt ϕ=∫
且0
()
lim
x f x A x
→=(A 为常数),求'()x ϕ并讨论'()x ϕ 在0x =处的连续性.
(16) (本题满分10分)
设(),f x y 为连续函数,()()222
2,,x y a f x y x f x y dxdy y +≤=+∫∫
,求
()1
,x y f x y dxdy +≤∫∫
.
(17) (本题满分10分)
过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (I) 求D 的面积A ;
(II) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . (18) (本题满分10分)
设()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()1f a f b ==,试证存在(),,a b ξη∈,使得
[]()()1e f f ηξηη−′+=．
(19) (本题满分10分)
设(,)z z x y =是由01821062
2
2
=+−−+−z yz y xy x 确定的函数,求),(y x z z =的极值点和极值. (20) (本题满分11分)
λ取何值时,方程组1231231
2321,2,4551
x x x x x x x x x λλ+−=⎧⎪
−+=⎨⎪+−=−⎩无解,有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时,写出方程组
的通解.
(21) (本题满分11分)
已知111ξ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠是矩阵2125312A a b −⎛⎞⎜⎟
=⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠
的一个特征向量.
(I) 试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值； (II) 问A 能否相似于对角阵？说明理由.
(22) (本题满分11分)
设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为1,01,
()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他,,0,()0,0,
y Y e y f y y −⎧>=⎨
≤⎩ 求2Z X Y =+的概率密度函数.
(23) (本题满分11分)
设随机变量X 和Y 的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量U X Y =+的方差.。