延安市实验中学大学区校际联盟2016—2017学年度第一学期期末考
试试题高二数学（理）（A ）
说明：卷面考查分（3分）由教学处单独组织考评，计入总分。

考试时间：100分钟 满分：100分
第Ⅰ卷（共40分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y
B ．y 2＝92x 或x 2＝43
y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43
y 3．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则﹁p 为( )
A ．∃x 0∈R ，x 20＋1>0
B ．∃x 0∈R ，x 2
0＋1≤0 C ．∃x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤0 4．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5．不等式x 2－x －6x －1
>0的解集为( ) A.{}x |x <－2或x >3 B.{}x |x <－2或1<x <3
C.{}x |－2<x <1或x >3
D.{}x |－2<x <1或1<x <3
6．有下列四个命题：
①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；
②“若a ＞b ，则a 2＞b 2
”的逆否命题；
③“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题；
④“若a b
是无理数，则ab 是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 7．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105
，则m 的值为( ) A ．3 B ． 15 C. 3或253 D.15或5153
8．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( )
A ．60°
B ．45°
C ． 30°
D ．以上都不对
9.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b
的最小值是( ) A.72 B ．4 C. 5 D ．.92
10．已知双曲线x 2－y 2
4
＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
第II 卷（共60分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中
心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值
等于________． 13.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，
y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值 __.
14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.
15.下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
三、解答题（本大题共5小题，共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分8分）在△ABC 中，a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △ABC
17．（本小题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a 18．（本小题满分9分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为
22
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的方程
19．（本小题满分10分）已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围．
20. （本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ＝AB ＝2，E 为PC 中点．求二面角E －BD －P 的余弦值．
高一数学（理）（A ）答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
B A B B
C B C A
D A
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.1∶1∶ 3 12. 155
13. 3 14. －2 15. 26 三 、解答题（本大题共5小题，共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题8分）解：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B
＝(33)2＋22－2·33·2·(－32
)＝49. ∴b ＝7，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×33×2×12＝332
.
17．（本小题8分）解：111132,32,2(2)n n n n n n n n S S a S S n ----=+=+=-=≥
而115a S ==，∴⎩⎨⎧≥==-)
2(,2)1(,51n n a n n 18. （本小题9分）解：根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)． ∵e ＝22，∴c a ＝22
.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22， 所以椭圆方程为x 216＋y 28
＝1. 19．（本小题10分）解: ∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a >1.
又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，
∴Δ<0，即a 2－4a <0，∴0<a <4.
∴q ：0<a <4.
而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p ，q 中有且只有一个为真，一个为假．
(1)若p 真，q 假，则a ≥4；
(2)若p 假，q 真，则0<a ≤1.
所以a 的取值范围为(]0,14[)⋃∞，＋．
20．（本小题10分）解: 以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建
立如图②所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,2)，B (2,2,0)，E (0,1,1)，DB →＝(2,2,0)，
DE →＝(0,1,1)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧ n 1·DB →＝0，n 1·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.
令z ＝1，得y ＝－1，x ＝1.
∴平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，－1,1)．
又∵C (0,2,0)，A (2,0,0)，AC →＝(－2,2,0)，且AC ⊥平面PDB ，
∴平面PDB 的一个法向量为n 2＝(1，－1,0)．
设二面角E －BD －P 的平面角为α，则cos α＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23·2＝63
. ∴二面角E －BD －P 的余弦值为
63
.。