f ( x) 在 x 0 处可导。 f ( x) lim(2 x) 1
x1 x1
lim f ( x) lim x 1
-x1
而 f (1) 1
x1
f (1 0) f (1 0) f (1)
故 f ( x) 在 x 1 处连续。
f ( x) f (1) 2 x 1 1 x lim 1 f (1) lim lim x 1 x1 x1 x1 x1 x 1 f ( x) f (1) x1 lim f (1) lim 1 x 1 x1 x 1 x 1 f (1) f (1)
h(1.2) h(1) 解：(1) v 1.2 1 0.78(m/s)
2
(1)
y0 x02
(2)
由 (1),(2) 式 可 解 得 x0 2, y0 4 或 x0 4, y0 16 ， 故 所 求 直 线 方 程 为
y 4 4( x 2) 或 y 16 8( x 4) 。也即 4 x y 4 0 或 8x y 16 0 。
A f ( x0 )
(2) lim0 x x
x0 x
lim
x x0
f ( x) x x0
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )
A f ( x0 ) h [ f x0 h) f ( x0 )] [ f ( x0 h) f ( x0 )]
f (1) f (1)
函数在 x 1 处不可导。
9． 已知 f(x)＝
sin x, x 0, x, x 0,
求 f′(x)．
解：当 x 0 时， f ( x) (sin x) cos x ， 当 x 0 时， f ( x) ( x) 1
h0
f ( x0 h) f ( x0 )
h0 h0
f [ x0 (h)] f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x0 )
A 2 f ( x0 )
5． 求下列函数的导数： (1) y= x ；(2) y=
1 x 2 3 x2 ；(3) y= ． 3 x2 x5 xx2
2 1
x6
5
1 1 y ( x 6 ) x 6 6 6 6 x5
6． 讨论函数 y= 3 x 在 x=0 点处的连续性和可导性． 解： lim 3 x 0 f (0)
x0 3 f ( x) f (0) x0 1 lim lim x0 3 2 x0 x0 x x
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第三章
习题 3-1 1． 设 s=
1 ２ ds gt ，求 dt 2 ds dt t 2
t 2
．
解：
2 1 1 g s(t ) s(2) lim 2 gt 2 4 lim t 2 t 2 t2 t2
f ( x) f (0) sin x lim 1 x0 x0 x0 x f ( x) f (0) x lim 1 f (0) lim x 0 x0 x 0 x f (0) lim f (0) 1
cos x, x 0,
1, x 0.
(3) y=
x 1 点． 2 x, x 1,
x, x 1,
解：(1) lim f ( x) 0 sin x 0 sin x 0 f (0) lim lim x 0 x x
f ( x) 在 x 0 处连续。 sin x y lim x x x 0 sin x sin x 1 lim x 0 x x sin x sin x 1 lim x 0 x x
10． 设函数 f(x)=
x2 , x 1,
为了使函数 f(x)在 x=1 点处连续且可导，a，b 应取什么值? 解：为使 f ( x) 在 x 1 处连续，必须 f (1 0) f (1 0) f (1) ，
f (1 0) lim f ( x) lim(ax b) a b

1 e lim 0
1
x0
f (0) lim
1 1e
1 x
x 0
f (0) f (0) 函数在 x 0 处不可导。
(3) f (1) lim f ( x) f (1) lim x 1 lim( x 1) 2 x1 x1 x1 x 1 x1
x , x 0, 1 x0 0 ； (2) y= 1 e x 0, x 0,
(3) y=
解：(1) f (0) lim
x0
f ( x) f (0) x3 0 lim lim x 2 0 x0 x0 x0 x f ( x) f (0) sin x 0 lim x0 x0 x 1
f ( x) f ( x) f ( x) f (0)
x0 x0
f ( x) f (0)
f ( x) f (0)
x0
故 f (0) 0 8． 求下列函数在 x0 处的左、右导数，从而证明函数在 x0 处不可导：
sin x, x 0, x0 0 ； (1) y＝ 3 x , x 0, x , x 1, x0 1 ． 2 x , x 1,
lim
x0
2
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函数 y 3 x 在 x 0 点处连续但不可导。
7． 如果 f(x)为偶函数，且 f′(0)存在，证明 f′(0)=0． 证： f ( x) 为偶函数
1 2 y0 2 x0 2 x0 y0 2 a 2 2a 2 。 2 1 2
２
13． 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间 t 的关系式为 h(t)＝10t－ gt (m)，求： (1) 物体从 t=1(s)到 t=1．2(s)的平均速度； (2) 速度函数 v(t)； (3) 物体何时到达最高点．
11． 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性： (1) y=｜sinx｜，x=0;
4
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2 1 x sin , x 0, x 0 点； (2) y= x 0, x 0,
4． 下列各题中均假定 f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么： (1) lim
x0
f ( x0 x) f ( x0 ) =A; x f ( x) ＝A； x x0 x0 x
(2) f(x0)=0, lim
(3) lim
h0
f ( x0 h) f ( x0 h) =A． h
a2 x0 y0 y 0 该双曲线在 p( x0 , y0 ) 2 2 x x0 0 0x
处切线的方程为： y y0
y0 ( x x0 ) x0
令 x 0 得该切线在 y 轴上的截距为 2 y0 ，
令 y 0 得该切线在 x 轴上的截距为 2 x0 ，于是，它与两坐标轴构成的三角形 的面积 s
f ( x) f (1) ax b 1 ax a lim a lim x1 x 1 x1 x 1 x 1
f ( x) f (1) x2 1 lim f (1) lim lim( x 1) 2 x 1 x1 x1 x 1 x 1 a 2 ，代入（1）式得 b 1 当 a 2 ， b 1 时 f ( x) 在 x 1 处连续且可导。
故 f ( x) 在 x 1 处不可导。
5
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２ 2
2
2
处切线的斜率
k y
x x0

1
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解：(1) lim x0
f ( x0 x) f ( x0 ) f [ x0 ( x)] f ( x0 ) lim f ( x0 ) x0 x x
1
解：(1) y
1 1 1 1 2 y ( x ) x 2 2 2 x 2 3
(2) y x
2 2 5 2 1 2 y ( x 3 ) x 3 x 3 3 3 2 3 5 2 1
2 3 3 x5
(3) y x x x
x1
x1
f (1 0) lim f ( x) lim x 2 1 ， f (1) 1
x
1
x 1
a b 1 b 1 a
(1)
为了使 f ( x) 在 x 1 处可导，必须 f (1) f (1)
f (1) lim
x 1
2
f (1) lim
x 1
f ( x) f (1) x1 1 1 lim lim x1 x 1 x 1 x 1 x1 2
3
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1 t 2 2
2． 设 f(x)=
1 x 1 x
1
1 x
1 f ( x0 ) ( x0 0) x02
2
解 ： 设 切 点 为 ( x0 , y0 ) ， 则 切 线 的 斜 率 为 y x x0 2 x0 ， 切 线 方 程 为