4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了 件产品，测量了每件产品的指标值，得到如图所示的频率分布直方图，将频率视为概率．
（1）若从指标值不低于 的产品中利用分层抽样的方法抽取 件，然后从这 件产品中任取 件进行进一步分析，求这 件产品中指标值 的件数 的分布列及数学期望；
（2）从试生产的所有产品中有放回地随机抽取 件，记“抽出的 件产品中至少有 件是合格及以上等级”为事件 ，求事件 发生的概率．
A． B．
C． D．
11．已知直三棱柱 的底面为正三角形， ， 是侧面 的中心，球 与该三棱柱的所有面均相切，则直线 截球 的弦长为（）
A． B． C． D．
12．已知函数 的图象经过点 ，若函数 有四个零点，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5 Nhomakorabea．2021届高三第一次模拟考试卷
理科数学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知 的三个内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，
．
（1）求角 的大小；
（2）如图，设 为 内一点， ， ，且 ，求 的最大值．
18．（12分）如图，在四棱柱 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ．
（1）证明： 平面 ；
A． B． C． D．
6．函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
7．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点，交 轴于点 ，若 ， 均是线段 的三等分点， 的周长为 ，则椭圆 的标准方程为（）
A． B． C． D．
8．甲、乙两家企业 年 至 月份的月收入情况如图所示，下列说法中不正确的是（）
A．甲企业的月收入比乙企业的收入高
B．甲、乙两家企业月收入相差最多的是 月份
C．甲、乙两家企业月收入差距的平均值为 万元
D． 月份与 月份相比，甲企业的月收入增长率比乙企业的月收入增长率低
9．若 满足约束条件 ， 的最大值为 ，则实数 （）
A． B． C． D．
10．已知 ，则下列不等式中不正确的是（）
4．执行如图所示的程序框图，若输入的 ， ，则输出的 的值是（）
A． B． C． D．
5． 年 月 日，第六届世界互联网大会发布 项“世界互联网领先科技成果”，有 项成果属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏 ”清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端 芯片“思元 ”赛灵思“ 自适应计算加速平台”．若从这 项“世界互联网领先科技成果”中任选 项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为（）
1．【答案】B
【解析】由 ，得 ，所以 ，故 ．
2．【答案】C
【解析】 ，故 ．
3．【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，所以 ．
4．【答案】C
【解析】执行程序框图， ； ； ；
，此时退出循环，故输出的 的值是 ．
5．【答案】A
【解析】由已知得，这 项“世界互联网领先科技成果”中有 项成果属于芯片领域．
（3）若每件产品的质量指标值 与利润 （元）的关系如下表所示（ ）：
试估计 的值，使得该企业该生产线的年盈利最大，并求出最大年盈利．（参考数据： ， ， ）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的方程为 ，以坐标原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（2）求二面角 的余弦值．
19．（12分）已知点 ，抛物线 上存在一点 ，且直线 的斜率最大，最大值为 ．
（1）求点 的坐标及 的值；
（2）若直线 交抛物线于点 ， ，且直线 与 都是圆 的切线，求直线 的方程．
20．（12分）已知函数 有两个不同的零点 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
（1）求曲线 的普通方程和直线 的极坐标方程；
（2）已知射线 与曲线 和直线 分别交于 和 两点，求线段 的长．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ．
（1）求 的值；
（2）若正数 ．满足 ，求证： ．
2021届高三第一次模拟考试卷
理科数学（一）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
21．（12分） 年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻 月 日至 日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为 千克，第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条年产量为 万件的产品生产线，该种产品以第三代杂交水稻为原料，已知该产品的质量以某项指标值 为衡量标准，等级划分如下表：
记“从这 项‘世界互联网领先科技成果’中任选 项，至少有一项属于‘芯片领域’”为事件 ，
则 为“选出的 项都不属于‘芯片领域’”，
13．若二项式 的展开式中的常数项为 ，则 ．
14．如图所示的扇形 的半径为 ， ， 是圆弧上一点，且满足 ， 与 交于点 ，则 ．
15．双曲线 的左、右焦点分别是 ， ，点 是双曲线左支上一点， ，直线 交双曲线的另一支与点 ， ，则双曲线的离心率是．
16．在数列 中， ， ，且当 时， ，若 是数列 的前 项和， ，则当 为整数时， ．