xT Ax(xT AT )x(Ax)T x(x)T xxT x
两式相减 得 ( )xT x0
n
n
但因x0 所以 xT x xixi |xi |2 0
i1
i1
故 0 即 这就说明是实数
注意：设为实对称矩阵的特征值，故(iE A)X 0的
系数矩阵为实矩阵，故此方程组的解必有实的 基础解系，故A的特征向量也可以取为实向量。
思考题解答
解 由 A2 A可得A的特征值为1或0,又A是实对称
阵, 且秩为r , 故存在可逆阵P , 使得
P 1 AP E r 0 , 0 0
其中E r 是r阶单位阵. 从而 det(2E A) det(2P P1 P P1)
det(2E ) det E r 0
2nr .
0 2 Enr
课后作业
• P138
15，17
定理3 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量.
定理4 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
P 1 AP ,其中 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵.
3）把这两两正交的单位特征向量作为列向量构成正交矩阵P， 则P-1AP PT AP ，其中中元素的排列顺序应该与 矩阵P中的特征向量的排列顺序相对应。
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
性质2:设1 2是对称阵A的两个特征值 p1 p2是 对应的特征向量 若12 则p1与p2正交
分析：只要证明 p1，p2 0，即p1T p2 0即可。
证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0 0
2x2 x3 0
2
解之得基础解系
2
1
.
2
对 3 2,由A 2E x 0,得
2
x1
4 x1 3x2
2x2 2x3
0
0
解之得基础解系 3
1 2.
2x2 2x3 0
2
第三步 将特征向量正交化
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
3的 特 征 向 量, 故 它 们 必 两 两 正 交.
第四步 将特征向量单位化
令
i
i i
,
i 1,2,3.
得
2 3
1 2 3 ,
2 3
2 1 3 ,
1 3
2 3
1 3
3 2 3.
2 3
2 2 1
作
P
1, 2 , 3
1
3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
• 一、实对称矩阵的性质
§4.4
对
• 二、实对称矩阵正交对角化的 过程
称
• 复习小结
矩
阵
一、实对称矩阵的性质
性质1:实对称阵的特征值为实数
证明: 设复数为对称阵A的特征值 复向量x为对应的特征向量 即Axx x0
显然有 Ax Ax (Ax)(x)x 于是有 xT Ax xT (Ax) xT (x)xT x
P
1
AP
0
1
0 .
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
2(1 1 0)T 3(1 0 1)T
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T
p3
1 (1, 6
1,
2)T
于是P(p1 p2 p3)为正交阵 并且P1APdiag(2 1 1)
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：
(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化．
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
试求行列式det2E A的值.
返回
二、实对称矩阵正交对角化的步骤：
1）求出n阶方阵A的全部特征值1, ,r ,设它们
的重数依次k1，k2， kr，则k1 k2 kr n。
2）把属于i (i 1, 2 n)的ki个线性无关的特征向量求出来， 设为i1, ,iki (i 1, 2 n)，再把它们正交化和单位化，
得到ki个两两正交的单位特征向量，因为k1 k2 kr n， 故可得到n个两两正交的单位特征向量。
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
性质3 : 设A为n阶实对称矩阵，是A的特征方程的k重根， 则对应于特征值恰有k个线性无关的特征向量。
性质4 :设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P1AP PT AP , 其中是以A的n个特征值为对角线上元素的对角矩阵。
证明 设A 的互不相等的特征值为 1,2 ,,s ,
它们的重数依次为r1 , r2 ,, rs (r1 r2 rs n). 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定
理3( 如上)可得：
对应特征值 i (i 1,2,, s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个 单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知, 这样的特征向量共可得 n个.
由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
P1AP P1P
其中对角矩阵的对角元素含r1 个 1,, rs 个s , 恰
是A的n个特征值.
则
P 1 AP
2 0
0 4
0 0.
0 0 4
例
设
A 011
1 0 1
011 求正交阵
P
使P1AP为对角阵
解: 由| E A|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程( 2EA)x0得基础解系1(1 1 1)T
将1单位化 得
p1
1 (1, 1, 3
1)T
对应231 解方程 (E A)x0得基础解系
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将 1, 2 , 3单位化,令i
i i
i
1,2,3得
0
1 1 2 ,
1 2
1
2 0,
0
0
3 1 2.
1 2
于是得正交阵
P
1
,2
,3
1
0 2
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2