河北省石家庄市辛集中学2021届高三数学综合训练考试试题（二）理
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}1->=x x A ，集合{}
2log 2<∈=x Z x B ，则A∩B=（ ）
A ．{}41<<-x x
B ．{}
40<<x x C ．{}3210，，，
D ．{}321，， 2．设i z i 2)1(=+，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i
3．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图．根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）
A ．甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐
B ．甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C ．乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐
D ．乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐
4．已知{}
R ax ax x a A 的解集为的不等式关于0222<-+=，{}
02<<-=a a B ，则x ∈A 是x ∈B 的（ ）
A ．既不充分也不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．充分而不必要条件
5．已知P （1，4）为抛物线)0(22
>=p px y C ：上－点，抛物线C 的焦点为F 则=PF （ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．8 6．若1)10tan 31(cos =+
α，则α的一个可能值为（ ）
A ．70°
B ．50°
C ．40°
D ．10°
7．已知βα，是空间两个不同的平面，m ，n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（ ）
①α∥m ，β∥n ，且n m ∥，则βα∥
②α∥m ，β∥n ，且n m ⊥，则βα⊥
④α⊥m ，β⊥n ，且n m ∥，则βα∥
④α⊥m ，β⊥n 、且n m ⊥，则βα⊥
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．③④
8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+-=0
,20,1)(2
3x x x x x f x ，则)3()2(2
x f x f >+的解集为（ ）
A ．),2(+∞
B ．),2()1,(+∞-∞
C ．)1,(--∞
D ．)2,1(
9．已知x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤+≥0
42
c by ax y x x ，且目标函数z=2x+y 的最大值为9，最小值为1，则a c b a ++=
（ ）
A ．6-
B ．6
C ．7-
D ．7
10．已知△ABC 的三条边a ，b ，c 满足b=2，ac=4，分别以边a ，c 为一边向外作正方形ABEF ，
BCGH ．如图C 1，C 2分别为两个正方形的中心（其中C 1，C 2，B 三点不共线），则当21C C 的值最大时，△ABC 的面积为（ ） A ．2 B ．3
C ．2
D ．5
11．已知函数1)(--=ax e x f x
，1ln )(--=ax x x g ，其中0＜a ＜1，e 为自然对数的底数，
若),0(0+∞∈∃x ，使0)()(00>x g x f ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．)1,
0(2e B ．)1,0(e C ．)11(2，e C ．)11
(，e
12．过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x C ：右焦点F 的直线l 交C 的右支于A ，B 两点，直线AO
（O 是坐标原点）交C 的左支于点D ．若DF ⊥AB ，且DF BF 2=，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
210 B ．10 C ．329 C ．3
87 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．等差数列{a n }中，a 3=5，a 8=15，则a 6= ．
14．已知8
2
8
0128(12)-=+++⋅⋅⋅+x a a x a x a x ，则a 1+a 3+a 5+a 7= ．
15．已知向量AB ，BC ，若2=BC AB ，BC 的方向是沿AB 方向绕着B 点按逆时针方向
旋转30°角得到的，则称AB 经过一次τ变换得到BC ．已知向量1OA =（1，0）经过一次τ变换后得到12A A ，12A A 经过一次τ变换后得到23A A ，…，如此下去，21--n n A A 经过一次τ变换后得到1-n n A A ，设20192020(,)=A A x y ，则y －x= ．
16．在四面体ABCD 中，AC=BC=CD=8，AB=AD=BD=6，AB ⊂平面α，E ，F 分别为线段AD ，BC 的
中点，现将四面体以AB 为轴旋转，则线段EF 在平面内投影长度的取值范围是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）
已知数列{a n }中，a 1 =1，当n≥2时，11---=⋅n n n n a a a a ．
（Ⅰ）求证：数列1⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
n a 是等差数列； （Ⅱ）设2121-+=⋅n n n b a a ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜
1
2
．
18．（本小题满分12分）
在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是正三角形，侧棱A 1A ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AB ，AA 1的中点，且A 1D ⊥B 1E ． （Ⅰ）求证：B 1E ⊥平面A 1CD ；
（Ⅱ）求二面角A1－CD－B1的余弦值．
19．（本小题满分12分）
某精密仪器生产厂准备购买A，B，C三种型号数控车床各一台，已知这三台车床均使用同一种易损件．在购进机器时，可以额外购买这种易损件作为备件，每个0.1万元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个0.2万元．现需要决策在购买机器时应同时购买几个易损件，为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数，得到如下统计表：
将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率，每台车床在易损件的更换上相互独立．
（Ⅰ）求一年中A，B，C三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率；
（Ⅱ）以一年购买易损件所需总费用的数学期望为决策依据，问精密仪器生产厂在购买车床的同时应购买18件还是19件易损件?
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C1：
22
22
1
+=
x y
a b
（a＞b＞0）和圆C2：222
+=
x y r（r＞0），F1，F2为椭圆C1
的左、右焦点，点B （0
C 1上，当直线BF 1与圆C 2
相切时，=
r （Ⅰ）求C 1的方程；
（Ⅱ）直线l ：y=kx+m （k ＞0，m ＞0）与x 轴交于点Q ，且与椭圆C 1和圆C 2都相切，切点分别为M ，N ，记△F 1F 2M 和△QF 2N 的积分别为S 1和S 2，求
2
1
()-m k S S 的量小值．
21．（本小题满分12分）
已知函数x a x x f ln )(2
-=，且1)(≥x f ． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）在函数f （x ）的图象上任意取定两点)))((,())(,(212211x x x f x B x f x A <，，记直线AB 的斜率为k ，求证：存在唯一),(210x x x ∈，使得k x f =')(0成立
（二）选考题：共10分，请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所
选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为θρsin 4=，将曲线C 1绕极点逆时针旋转
3
2π
后得到曲线C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线)(:R l ∈=ραθ与C 1，C 2分别相交于异于极点的A ，B 两点，求AB 的最大
值.
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数221)(-++=x x x f ，m m x x x g -++-=31)( （Ⅰ）求函数f （x ）的最小值；
（Ⅱ）对于任意x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f （x 1）≥g（x 2）成立，求m 的取值范围.。