o
x
F1
a2 b2
看分母大小
2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
三.椭圆的几何性质
让我们一起研究标准方程为:标准方程
为x :2
a2

y2 b2
的椭圆的性质 1(a b 0) 的椭圆的性质
首先，我们有： 2a>2c,a2=b2+c2, a>0,b>0,c>0
y
F1
F2
x
条件
标准方程
2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
图形
范围 对称性
顶点 焦点 焦距
离心率
a x a, b y b
曲线关于x轴、 y轴、原点对称
长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
因此 焦点F1 (-c,0)、 F2 (c,0)
y
O
x
把椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆 的离心率，用e表示，即 e c a
y x
O
所以 e∈(0，1) e越接近于0，椭圆越圆；e越接近于1，椭圆越扁.
椭圆的标准方程及其简单几何性质
条件
标准方程
2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
那么 k 等于
(A)-1
(B)1
( B)
(C) 5
(D)- 5
y2
解析:椭圆方程化为 x2+ 5 =1, k
由题意知

5 k 5
1, 1
22 ,
解得
k=1.
k
4.已知方程 x2 y2 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, m2 2 m
D 则 m 的取值范围是( )
椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为
.
解析:设椭圆的方程为
x2 a2

y2 b2
c

a

3 5
=1(a>b>0),则已知 b 4,
a2 b2
c2,

a 5, 解得 b 4,
c 3,
所以椭圆方程为 x2 y2 =1. 25 16
小结：椭圆的标准方程及其简单几何性质
a y a, b x b
(0,-c)和(0,c)
基础自测
1. 已知椭圆 x2 + y 2 =1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2,则 P 到 95
B 另一个焦点的距离为( )
(A)1
(B)4
(C)2
(D)2 5 -2
解析: 由椭圆方程得 a=3, 由椭圆定义知 PF1 PF2 2a
5
则椭圆的方程为 45 36 .
解析:由题意可设椭圆方程为 x2 y2 =1, a2 b2

则

1
b2 a2

5, 5
25 a2

16 b2

1,
解方程组得
a2
b
2

45, 即椭圆方程为
36.
x2 45

y2 36
=1.
=1. 6.已知椭圆的焦点在 x 轴上,离心率为 3 ,直线 x+y-4=0 与 y 轴的交点为 5
(-c,0)和(c,0)
a y a, b x b
曲线关于x轴、 y轴、原点对称 长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0)
(0,-c)和(0,c)
2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以 F1、F2为端点的线段． 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆．
二.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴
x2 a2

y2 b2
＝1(a

b

0)
y
P
F1 o
F2 x
(2)焦点在y轴
ห้องสมุดไป่ตู้
y
F2
P
y2 x2 ＝1(a b 0)
椭圆
一．椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离 之和等于常数2a（大于∣F1F2∣）的 点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 两焦点的距离∣F1F2∣叫椭圆的焦距 （2c）.
1.动画演示
2.椭圆定义的符号表述：
PF1 PF2 2a
(2a>2c)
注意：1.当2a>2c时,轨迹是椭圆
y
横坐标的范围：
B2
-a x a
A1 F1 O
A2
F2
x
纵坐标的范围：
B1
-b y b
由式子 x 2 y 2 1 知 a2 b2
x2 a2 1
所以 x2 a2 从而：-a x a
我们把两焦点F1、F2 的距离叫椭圆的焦距
∣F1F2∣=2c
所以∣OF1∣= ∣OF2∣=c
(A)(-∞,-1)∪(2,+∞)
(B)(-2,+∞)
(C)(-1,2)
(D)(-2,-1)∪(2,+∞)
解析:由题意得
m2

2

m,
2 m 0,
解得 m>2 或-2<m<-1.
5.已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 5 ,且过点 P(-5,4),
x2 y2 =1
椭圆关于x轴、y轴、原点对称.
yy B2
AA11
AA2 2
O O
x
在
x2 a2

y2 b2
BB11
1中令y=0， 可得x= a
从而：A1(-a,0),A2(a,0)
同理：B1(0, -b),B2(0, b)
y
B2
A1
A2
O
x
B1
线段A1A2叫椭圆的长轴: 长为2a 线段B1B2叫椭圆的短轴: 长为2b
所以P到另一个焦点的距离 为6-2=4.
D 2.椭圆 x2 y2 =1 的离心率为( )
16 8
(A) 1 3
(B) 1 2
(C) 3 (D) 2
3
2
解析:由椭圆方程知 a2=16,b2=8,
∴c2= a2 - b2=16-8=8, ∴e= c 2 2 2 .
a4 2
3.已知椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点坐标为(0,2),
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
图形
对称性 顶点
范围
焦点 焦距
离心率
曲线关于x轴、 y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
a x a, b y b
(-c,0)和(c,0)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称 长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0)