b a c (b>0)
2 2 2
a>c
2 2 2 2 2 2 bx + a y= a b
焦点在X轴的椭圆的标准方程：
焦点在Y轴的椭圆的标准方程：
x y ( a b 0) 1 2 2 a b
F ( c , 0 ) ,Fc (, 0 ) 1 2
2
2
y x 2 1 2 a b
x y 1 9 4
2
2
y x 1 9 4
2
2
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设F1、
F2为椭圆
x 2 25
y 2 9
1
P为椭圆上一点，与F1、
F2
的焦点，
练习
构成一个
Y
P
三角形，求 P F1 F2 的周长？ PF1 F2 周长 PF1 F1 F2 PF2 解：
PF1 PF2 F1F2
x a
2 2
y2 1 2 b
2 2
(a b 0 )
2 2 2 2
c a b
2 2
b a c 5 3 1 6
x2 y2 1 25 16
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故所求椭圆的标准方程为：
3.已知椭圆上某点到两定点的距离之和为6， 两个定点之间的距离为 2 5 ，求椭圆的标 准方程。
(1)
F1
F2
椭圆的定义： 平面内与两定点F1、F2 的距离之和为常数 的距离之和为常数的点 (大 的轨迹 或集合)叫做椭圆。 于 | F1F( 2|) 的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。
椭圆的焦点： F1、F2 椭圆的焦距： |F1F2|
解： 设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
求平面内与两定点F1、 F2 的距离之和为常数 (大 椭圆的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 于 | F1F2( |) 的点的轨迹 (或集合) ？ 为常数 大于 | F1F2|)的点的轨迹 (或集合)叫做椭圆。 Y |MF1|+|MF2|= 2a
解：因为 2a=6
所以 a=3
例题
2
2c= 2 5
c=
5
设焦点在Y轴的椭圆标准方程为
设焦点在X轴的椭圆标准方程为
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
2 2 2 b a c 9 54
b a c 9 54
2 2
焦点在X轴的椭圆标准方程为 焦点在Y轴的椭圆标准方程为
x y 2 1 2 a b
y x 2 1 2 a b
2
2
ba ck ne
解 ： 因为 5 4
1.求下列椭圆的焦点和焦距。 x2 y2 2 2 (1) 1 ( 2 ) 2 x y 1 6 5 4 y2 x2
16 8 1
例题
所以焦点在X轴上
因为 16 8 所以焦点在Y轴上
a =5 ,b =4
c a b 1 c 1 2c 2
2 2 2
2
2
a 1 6 ,b 8
2 2
c2 a2 b2 1 688 c 2 2
( 1 ,0 ) ,F ( 1 ,0 ) 焦点为：F 1 2 焦点为： F ( 0 , 22 ) , F ( 0 , 22 ) 1 2 焦距为： 2 焦距为： 4 2
2 2 2 a c x = a ( x c ) + y
| F1F2|=2c (c>0)
a 2 a c x + c x = a x 2 a c x + a c + a y 常数=2a (a>0)
2 2 2 22 2 2 2 ( a c ) x + a y = a ( a c )
4 2
2 22 2 2
2 22 2
(a 2 -c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 -c 2 ) b a -c (b 0 )
2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 a x + ( a c ) y = a ( a c )
b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2
2 2
2 2 2 b a c( b 0 ) 2 2 2 2 2 2 a x+ by= ab
2
2
(a b 0)
2
F ( 0 , c ) ,F ( 0 ,c ) 1 2
c a b
2 2
2
c a b
2 2
常数(绳长) =2a (a>0)
焦距: | F1F2|=2c (c>0)
b a c
2 2

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(b>0)
Y
M
M
Y
F2
F1
o
F2
X
o
X
解：
解：
F1
令F1(-c,0)，F2 (c,0) |F1F2|=2c (c>0) 令F1(0，-c), F2 (0，c) | F1F2|=2c (c>0) 常数=2a (a>0) 常数=2a (a>0)
椭圆
一、椭圆的定义和标准方程
1.取一条长度一定且不可伸缩的细绳，把它的两 个端点固定在黑板上的F1，F2两点 (使绳长大于 F1到F2的距离)，用粉笔尖把绳子拉紧，使笔尖在 黑板上慢慢移动一周，得到的图形是什么？
得到的图形是椭圆
2.在画椭圆的过程中需要注意哪几个问题？
M
问题
F1，F2为固定两点 (2)笔尖到F1与F2的距离之和为绳长(定长) (3)绳长大于F1到F2的距离
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
|MF1|+|MF2|= 2a (a>0)
2 2 2 2 ( x + c )+ y + ( x c )+ y = 2 a
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
2 2 2 2 x + ( y + c )+ x + ( y c )= 2 a
(a>0)
F1
M
2 2 2 2 ( x + c )+ y + ( x c )+ y = 2 a 2 2 2 2 ( x + c )+ y = 2 a -( x c )+ y
(-c,0)
O
F2
(c,0)
X
2 2 2 2 2 2 2 ( x + c ) + y = 4 a 4 a ( x c ) + y + ( x c ) + y
2c 4 2
2 . 已知椭圆的焦点为 F1 (-3，0) ，F2 (3，0)， 椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，求椭圆的 标准方程。 Y
解： 因为 F ( 3 ,0 ) ,F ( 3 ,0 ) 1 2 设椭圆标准方程为
M
例题
所以焦点在X轴上，c=3
F1
O
F2
X
2a 10 a 5
x 2 2 5
2
F1
o
F2
2a 2c
y 9
2
X

1
a 2 5 a 5 2 a 1 0