( a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 ( a 2 c 2 )令 a2c2b2
a x2 2b y22 1(ab0)
椭圆的标准方程
椭圆标准方程
y
M
F1
O
F2 x
y
F2 M
O
x
F1
x2 y2 1(ab0)
a2 b2
椭圆的标准方程的形式：焦点随着分母
走，焦点在分母大的轴上。
例题精析
F1
F2
2a=2c时, 线段
2a<2c时, 无轨迹
椭圆标准方程
解 ： 设 点 M ( x , y ) , F 1 ( c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) M F 1M F 22a
即 ： ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2 a
( x c ) 2 y 2 2 a ( x c ) 2 y 2 •FF11
M
•M
FF•22 x
( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
a 2 c x a(x c )2 y 2
a 4 2 a 2 c x c 2 x 2 a 2 x 2 2 a 2 c x a 2 c 2 a 2 y 2
2.椭圆的标准方程。
x2 y2 1(ab0)
a2 b2
y2 x2 1(ab0)
a2 b2
3. 标准方程的简单应用。
作业:
P96习题 8.1
第1,2,4题
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椭 圆 经 过 点 （ 2， 1） 。
解 ： 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 ，
设 它 的 标 准 方 程 为 ： x 2y 2 1(ab0)
a 2 b 2
2 a 1 0 ,2 c 8 , a5,c4. b2 9.
所 以 所 求 的 椭 圆 方 程 为 ： x 2 y 2 1 . 2 59
点评：求椭圆方程首先要判断焦点的位置
即：0<k<4
所以k的取值范围为 0<k<4 .
例5、化简：
x 2 (y 3 )2x 2 (y 3 )2 10
分析： |MF1|+|MF2|=10， 2a=10，2c=6，
∴a=5，c=3，b=4
∴
y2 x2 1
25 16
y
F2(0,3)
M (x,y)
O
x
F1(0,-3)
小结：
1.椭圆的定义及焦点、焦距的概念。
长为_2__5___2_____
F2
P
O
x
F1
例3、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）满足a=4, b=1，焦点在 x轴上的椭圆 的标准方程为__1x_26___y_2___1___;
（2）满足a=4, c= 15，焦点在 y轴上的椭圆 的标准方程为__1_y_26___x_2____1__.
a5,c3 b2 16
点 A 的 轨 迹 方 程 是 ： x2y2 1(y 0)
2 51 6
练习：若方程4x2+kY2=1表示的曲线是 焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。
解：由 4x2+ky2=1
x2 y2
可得 1 1 1
4k
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
所 以 1 1 k4
举出实例:
M
椭圆的定义： F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
|MF1|+ |MF2| = 2a
设∣F1F2∣= 2c, ∣MF1∣+∣MF2∣= 2a，则
c=0时,圆 M
2a>2c时, 椭圆
例 4： 求 适 合 下 列 条 件 的 椭 圆 的 标 准 方 程 ： （ 1 ） 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 （ -4， 0） ， （ 4， 0） 椭 圆 上
一 点 到 两 焦 点 距 离 的 和 等 于 10； （ 2） 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 （ 0， -2） ， （ 0， 2） ， 并 且
例 5 ： 已 知 B 、 C 是 两 个 定 点 ， B C 6 ， 且 A B C 的 周 长 等 于 1 6 ，
求 顶 点 A 的 轨 迹 方 程 ？ y
解 ： 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ；
•A
3
3
A B A C 1 0 ,B C 6
•
•
B
Cx
点 A 的 轨 迹 是 椭 圆 ， 且 2 c 6 , 2 a 1 0
例2
已知椭圆的方程为：y2
x2
1，则
54
(1) a=___5__，b=___2____，c=____1___;
(2)焦点坐标为：_(0__,-_1_)_、__(_0_,_1_)_焦距等于___2____;
(3)曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一
个焦点F2的距离等于__2___5___3_，则三角形F1PF2的周 y
例1：已知椭圆的方程为： x2 y2 1 ，则 25 16
a=___5__，b=___4____，c=___3____，焦点坐标 为：(_3_,_0_)_、__(_-3__,0_)_ 焦距等于___6___;若CD为
过左焦点F1的弦，则三角形F2CD的周长为
____2_0___
Cy
F1 O
F2
x
D