第二节 地球重力场的基本原理
（3）引力位的物理意义 引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。 在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到
该点所做功。
Q
A dVVQVQ0
Q0
Q
M
Q0
F
m
第二节 地球重力场的基本原理
2 离心力位
x r cos cos , y r cos sin , z r sin
空间点S的坐标（x,y,z)，地面质点M的坐标(xm,ym,zm)
则有
z
(Xm,ym,zm)
dm
Rψ
o
φm φ
λm λ
ρ
r S0
Se
y
(X，y，z) S
V f dm
x
第二节 地球重力场的基本原理
将 引力位函数
用级数展开，再代入 有:
再将
代入，按（R/r）合并集项得：
第二节 地球重力场的基本原理
（2） 位函数的性质 ① 位函数是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行积 分。 V＝V1＋V2＋·····＋ Vn 所以，地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体位 函数dVi之和，对整个地球而言，则有
dm
V dV f
M
M
z
(Xm,ym,zm)
dm Rψ
(X，y，z) S
第二节 地球重力场的基本原理
讨论前三项： ① 先看v0
可见，V0就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位。 ② 再讨论v1，ψ 为R,r之间的夹角
r x iyjz k Rxmiymjzmk
第二节 地球重力场的基本原理
上式两边同除以地球质量M，又因为
为地球质心坐标。
以地球质心为坐标系的原点，故有：
式中x, y, z为被吸引点坐;标
xm , ym , zm为吸引点坐标
若设：
a ax2ay2az2
(a , x), (a , y), (a , z)为a与各坐标轴之间的夹角，则
a x a c o s ( a ,x ) , a y a c o s ( a ,y ) ,a z a c o s ( a ,z )
ρ
r S0
o
φ φm
λm λ
x
Se
y
第二节 地球重力场的基本原理
② 在空间直角坐标系中，引力位V确认这样一个加速度引力场，即 引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度 (或引力)向量的负值：
V
V
V
ax x , ay y , az z
r 2 x xm 2 y ym 2 z zm 2
1）离心力位：
Q 2（x2 y2）
2
将Q对各坐标轴求偏导数有：
Q
..
2x x
x
Q
..
2y y
y
Q 0 z
可见，Q对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向量 的负值。因而Q是位函数，称离心力位。
第二节 地球重力场的基本原理
2）离心力位函数的特性： （1）其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量的负值。 （2）其二阶导数为:
因而
x0=0 v1=0
y0=0
z0=0
第二节 地球重力场的基本原理
③ 最后看v2 将
代入下式
有：
第二节 地球重力场的基本原理
用A、B、C表示质点M对x、y、z轴的转动惯量,用D、E、F表示 惯性（离心力矩）即：
那么：
第二节 地球重力场的基本原理
若用球面坐标表示，作如下变换
则：
仿此推求Vi，代入下式，便可得地球引力位的计算式：
令x=cosψ ，则有：
P n cos

1 d n (cos 2 1 ) n
2 n n!
d cos n
P 0 cos 1 ; P 1 cos cos ;
P 2 cos

3 cos 2
2

1; 2
P 3 cos

5 cos
2
3
第一节 地球及其运动的基本概念
2）地球公转：
地球公转遵循开普勒三定律和万有引力定律。
① 开普勒三大行星定律 a 行星运行的轨道是一个椭圆，而该椭圆的一个焦点与太阳的质 心相重合
r a1e2 1ecosf 远日点
f 近日点
第一节 地球及其运动的基本概念
b 行星质心与太阳质心间的距离向量，在相同的时间内所扫过的面 积相等，即面积速度(s/t ）=常数
②．当g与l夹角为0时，即(g ,l)=00,则有-dw=gdl a．若dW≠0，必有dl ≠0,说明水准面之间不相交和相切 b．若dW＝C，由于各处重力g不同，因而各处的dl也不同 说明水准面之间不平行
（2）重力位是标函数
第二节 地球重力场的基本原理
四、地球的正常重力位和正常重力 1 地球重力位计算的复杂性
3、地球重力 为F与P的和向量
gFP
第二节 地球重力场的基本原理
二）引力位和离心力位 1、引力位 （1）位函数的定义
位函数：在一个参考坐标系中，引力位对被吸引点三个坐标方向的 一阶导数等于引力在该方向上的分力。
借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。 空间任意两质点m和M相互吸引的引力公式是 ：
第二节 地球重力场的基本原理
★ 勒让德多项式： 1）勒让德多项式：
Pnx2n 1n!dn(x d2x n 1)n
递推公式：
P n 1 x 2 n n 1 1 xn P x n n 1 P n 1 x
将（x2-1)n按二项式定理展开有：
第二节 地球重力场的基本原理
第三章 地球重力场及地球形 状
的基本理论
第一节 地球及其运动的基本概念
1.地球概说 1）地球的基本形状 地球表面积：5.1亿Km2，海洋占70.8%，陆地占29.2% 地球体积为10830亿Km3
地球的实际形状很不规则。从总 体情况看，地球的形状可用大地体 来描述：是一个两极略扁，赤道突 出，略显“梨形”的球体。 为计算和研究的方便，通常用旋转 椭球来表达地球形状。
第一节 地球及其运动的基本概念
2）地球大气 ★大气厚度：2000～3000km； ★大气质量：3.9×1021克 ★从地面由低到高可分为：对流层，平流层，中层，电离层(热层)， 外层(散逸层),对电磁波传播的影响，主要是对流层和电离层。 ★对流层：海平面以上40～50km；气温随高度增加而降低；空气对流 ，运动显著；湿度大；天气多变。 ★平流层：对流层以上50～55km，气温不受地面影响；空气水平运动 ；水汽含量极少。 ★中 层：平流层以上80～85km，气温随高度增加而迅速下降，空气 对流。
地球形状不规则，质量密度分极其不均匀，因而无法用以下 重力位公式精确求得其重力。
Wf dm 2 x2y2 r2
2 正常椭球: 一个形状和质量分布规则,接近于实际地球的旋转椭球。它产
生的重力场称为正常重力场。正常重力场的等位面称为正常水准 面。因为正常椭球面是一个正常水准面，所以正常椭球又称水准 椭球。
第二节 地球重力场的基本原理
V V0 V1 V2

f r
M

1 r2

2C

(A 2
B)
(
1 2

3 2
sin2
)

3(Ecos Dsin)cos sin
3 2
(
B
2
A
cos2

F
si
n2)cos2


第二节 地球重力场的基本原理

3 cos
2
第二节 地球重力场的基本原理
2）缔合勒让德多项式：
PnKx(1x2)K2dK dPn K x(x)
其中，n表示阶，K表示次，当K=0时即为勒让德多项式 令x=cosψ ，则有：
第二节 球重力场的基本原理
3 地球引力位的数学表达式 （1）用地球惯性矩表达引力位的数学表达式


V z

Q z



g g2x g2y gz2
对任意方向的偏导数等于重力g在该方向的分力：
W l gl gcogs,(l)
（g ,l）为重力g与l的夹角，同重力方向重合的线称为铅垂线。
第二节 地球重力场的基本原理
①．当g与l相垂直时，即(g ,l)=900 dw＝0，有W＝常数，当取不 同常数时，就得到一簇曲面，称重力等位面，也就是水准面。有 无数个。其中，完全静止的海水面所形成的重力等位面，称大地 水准面。
Mm F f r2
假如两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量dr，则必做功：
Mm dA f r2 dr
第二节 地球重力场的基本原理
用V表示位能，此功必等于位能的减少：
Mm dV f r2 dr
对上式积分，则得位能：
Mm Mm
V dV f r2drf r
引力位或位函数 ： 取质点m的质量为单位质量则有：
第二节 地球重力场的基本原理
一）引力与离心力
1、引力F
z ω
F

f
Mm r2
ρ
M为地球质量，
F
P
rg
m为质点质量， f为万有引力常数，
o

y
r为质点到地心的距离。
x
第二节 地球重力场的基本原理
2、离心力
Pm2 为地球自转速度 28616.04957.292111505rads1 为质点所在平行圈半径
第一节 地球及其运动的基本概念
★电离层：中层顶部到800km的高空；温度随高度增加而急剧上升