仲恺农业工程学院试题答案与评分标准《工程数学Ⅰ》2008至2009 学年度第 2 学期期末(A)卷一、单项选择题(3* 8分)二.填空题(３*7分)1. 5 .2.111. 3. 0、7 .4. 0、7 .5. 1 .6. 0、1915 .7.3μ.三.计算题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分)1.设方阵A=211210111-⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭,113432B-⎛⎫= ⎪⎝⎭,解矩阵方程XA B=、解:1101 1232 3330A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3分122182533X BA--⎛⎫ ⎪==⎪--⎪⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5分2.某人对同一目标进行5次独立射击,若每次击中目标的概率就是23,求(1)至少一次击中目标的概率; (2)恰有3次击中目标的概率。

解:(1) 5124213243⎛⎫-=⎪⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 3分(2) 3235218033243C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5分四.计算题(本大题共2小题,每小题6分,满分12分)1.计算2512371459274612D ---=--.解:25121522371402165927011346120120D -----==----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、3分152215220113011390216003001233--===----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、6分2.某工厂有三个车间生产同一产品,第一车间的次品率为0、05,第二车间的次品率为0、03,第三车间的次品率为0、01,各车间的产品数量分别为2500,2000,1500件,出厂时三个车间的产品完全混合,现从中任取一件产品,求该产品就是次品的概率。

解:设B ＝{取到次品},i A ＝{取到第i 个车间的产品},i ＝1,2,3,则123,,A A A 构成一完备事件组。

……………… ……… …… …………… ………2分 利用全概率公式得,∑=++==31332211)()()()()()()()()(i i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P%3.3%160001500%360002000%560002500=⋅+⋅+⋅=…………………… ……6分五.设方阵001010100A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求一个可逆矩阵P ,使1P AP -成为对角矩阵、 (9分)解 由12301,1A E λλλλ-=⇒===- 3分 对应这三个特征值的特征向量分别为1230111,0,0011-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P 6分令123(,,)P P P P =,则0P ≠,P 可逆,并且1111P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭9分六.设向量组121,2-a a a 线性无关,证明:向量组12,a a 也线性无关。

(6分) 证明:设 k 1 a 1 + k 2a 2 = 0 ⇔( k 1+2 k 2)a 1 + k 2(a 2 -2a 1)= 0∵121,,2-a a a 线性无关, ∴ k 1 +2k 2= 0, k 2= 0, ------4分 即 k 1 = k 2 = 0, ∴12,a a 线性无关。

------6分-七.求齐次线性方程组123412341234030230x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩的一个基础解系及通解。

(8分)解:齐次线性方程组的系数矩阵为111111131123A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭～110100120000--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、4分同解方程组为1242234442x x x x x x x x x =+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 基础解系为:11100ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,21021ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、6分通解为: 1211100201x k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………8分八.设连续型随机变量X 的密度函数为,01,()0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其他.,且2()3E X =,求 (1) 常数,a b ; (2)X 的分布函数()F x ; (3)23{}32P X <<; (10分) 解 (1)2()1,()2,03f x dx xf x dx a b ∞∞-∞-∞==⇒==⎰⎰3分 (2)20,0()(),011,1xx F x f x dx x x x -∞⎧≤⎪==<<⎨⎪≥⎩⎰7分(3)233245{}()()1322399P X F F ≤≤=-=-= 10分一、单项选择题(本题共8小题,每小题３分,满分24分)1、若A 就是n ×m 矩阵, B 就是n ×s 矩阵, 则下列运算有意义的就是( )、 (A)AB (B) B A T(C) TAB (D) BA2、齐次线性方程组00x y x y λλ+=⎧⎨+=⎩存在非零解,则λ =(A) 10或-; (B) 10或; (C) 12或; (D) 11或-3、 下列函数中,可以作为随机变量X 的分布函数的就是(A) 11()arctan 2F x x =+π(B) 2()1x F x x =+ (C) 102()1202xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ (D) 200()101x F x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，，4.设X 的密度函数为21()(1)=+f x x π, 则2Y X =的密度函数为(A)21(14)+y π; (B) 22(4)+y π; (C) 21(1)+y π; (D) 1arctan y π、 5.设X 的密度函数为0.4 1.2,01()0,x x p x +<<⎧=⎨⎩其它,则()E X =(A) 0、73 (B) 0、54 (C) 0、6 (D)0、896、 设),,,(21n X X X 为来自总体),(~2σμN X 的一个样本,其中μ未知,2σ已知,则( )不就是统计量(Ａ) 2211()1n i i S X X n ==--∑ (Ｂ) 2211()=-∑n i i X X σ (Ｃ) ∑=-n i i X n 12)(1μ (Ｄ) ∑==n i iX n X 117、 设12(,,,)n X X X 为来自),(2σμN 的样本,则∑==n i i X n X 11服从( )分布。

(Ａ) (0,1)N (Ｂ) ),(2σμN (Ｃ) 2(,)N n n μσ (Ｄ) 2(,)N nσμ 8、 设有来自正态总体2~(,)X N μσ的容量为5的样本,样本均值21259,,x =μσ未知,而样本标准差11.937s =。

(提示2.236=)。

假设检验01:1277,:1277H H =≠μμ.在显著性水平0.05α=下,则下列选项正确的就是: (Ａ) 由0.025(4) 2.776t =,经计算拒绝0H(Ｂ) 由0.05(4) 2.132t =,经计算接受0H(C) 由0.025(5) 2.57t =,经计算拒绝0H (D) 由0.05(5) 2.015t =,经计算接受0H二.填空题(本题共7小题,每小题3分,满分21分)1、 已知向量组111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,13t γ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭的秩就是2,则t = 52、 一批零件共100个,次品率为10o o , 接连两次从这批零件中任取一个零件,第一次取出的零件不再放回去,则第二次才取得正品的概率为 1113.设()0.5()0.4()0.3，，P A P B P A B ==-=,则()P A B ⋃= 0、74、 设X 为一离散型随机变量,其分布律为 0120.10.2X P a则a = 0、75、 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且{}{}10P X P X ===,则λ= 16、 设随机变量X ~2(2,4)N ,且(0)0.5Φ=,(0.5)0.6915Φ=, 则{}02P X <<= 0、19157.设总体X 的均值与方差分别为μ与2σ,1X ,12(,)X X 就是X 的一个样本,统计量1121344X X μ=+, 2121233X X μ=+, 3121122X X μ=+ 都就是μ的无偏估计量,其中最有效的就是 3μ。