实数和二次根式的基本
概念
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一．实数的基本概念
1．无理数的概念：
（1）定义：无限不循环小数叫做无理数.
（2）解读：
1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环.
2）无理数的常见类型：
①具有特定意义的数。
如π等；
②……（每相邻两个1之间依次多一个2）等；
③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢
3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数. 2．实数的概念及分类：
（1）定义：有理数和无理数统称为实数.
（2）分类：
①按定义分：
⎧⎧
⎨
⎪
⎨⎩
⎪
⎩
整数
有理数
实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数
知识点睛
实数、二次根式的基本概念
②按性质分：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数
（3）实数的性质：
①相反数：a 与b 互为相反数0a b ⇔+=.
②绝对值：,00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,0,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,0,0a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ （4）实数和数轴上的点是一一对应的.
π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。
（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。
（6）实数中非负数的四种形式及其性质： 形式：①0a ≥；②20a ≥
0≥（0a ≥
0a ≥.
性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
（7）实数中无理数的常见类型：
①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数；
②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：21π+等；
③…….
（一）根据实数的定义解题：
【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数哪些是正实数
－ 131…， π，
， 23，
， ，
…（相邻两个2之间0的个数逐次加1
），
.
【例2
】在实数010.1235中无理数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【拓展】22π 3.140.614140.10010001000017，，，，这7个实数中，无理数的个数 是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例3】下面有四个命题：
①有理数与无理数之和是无理数．
②有理数与无理数之积是无理数．
③无理数与无理数之和是无理数．
④无理数与无理数之积是无理数．
请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。
【例4】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
（二）实数的绝对值：
【例5】求下列各数的相反数及绝对值：
(1)364- (2)π-3
【例6】已知一个数的绝对值是3，求这个数.
【拓展】｜x ｜=｜－π｜，求x 的值。
【例7】若01<<b 则2b ，b ，1b
这四个数有下列关系（ ） A. b b b b 21
<<< B. b b b b 21<<<
C. 12
b b b b <<< D. b b b b <<<12
【例8】比较下列各组数的大小：
(1)7和
二．二次根式的概念
1. a≥0）的式子叫做二次根式
2. 二次根式应满足两个条件：
第一，有二次根号。
第二，被开方数是正数或0。
第三，二次根式a（a≥0）表示非负数a的算术平方根。
3.性质
(1)2)
(a=a（a≥0）．
(0)
(0)
a a
a
a a
≥
⎧
==⎨
-<
⎩
a
a=
2（a≥0）a
a-
=
2（a＜0）
（a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）
a≥0，b>0）a≥0，b>0）
【例1】下列各式中哪些是二次根式，请作出判断。
【例2】当x在实数范围内有意义【拓展1】x为何值时，下列各式在实数范围内有意义
(1)；
【拓展2】x取何值时，下列各式有意义
；； (3) )12-
【拓展3】x取何值时，下列格式有意义：
；；
3.最简二次根式
a≥）中的a称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简
二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
(3)分母中不含二次根式。
二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．
【例1】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是
a＞b）
【例2】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）．
．
个个个个
【例3
中，最简
二次 根式有____________________。
【练习】下列根式2231282
xy ab xy x y -，，，，，中式最简二次根式的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
【例4】把下列各式化成最简二次根式。
(1)24 (2)375a (3)()3225500x x x +≥
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。
合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+．同类二次根式才可加减合并．
【例1】下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（ ）
A 52x 和3x
B 12ab 和
13ab C x 2y 和xy 2 D a 和1a 2 【例2】在27 、1
12 、112 中与 3 是同类二次根式的个数是（ ）
A. 0
【巩固】下列二次根式中，哪些是同类二次根式（字母均为正数）
1275；48；20-；11252；1y x x ；x y y
． 【例3】下列各组二次根式中，属于可以合并的是（ ）
A ．12与72
B ．63与28
C ．34x 与22x
D ．18与
23
【例4】若a+b 4b 与3a ＋b 是同类二次根式，则a 、b 的值为（ ） A a=2 , b=2 B a=2 , b=0 C a=1 , b=1 D a=0 , b=2 或a=1 , b=1
【巩固】若4a b b +与最简二次根式3a b +为同类二次根式，其中a ，b 为整数，则a =______，b =________；
【例5】若最简二次根式35a -与3a +是可以合并的二次根式，则____a =。
【例6】下列二次根式中，与a 是可以合并的是（ ）
A ．2a
B ．23a
C ．3a
D ．4a
【例7】若最简二次根式22a b a b a b +++与是同类根式，求2b a -的值．
课后作业
1. 把下列各数分别填入相应的集合里83，，-3π，,
722-23，-87，……，,-7 (1)正有理数集合：{ ……}
(2)有理数集合：{ ……}
(3)无理数集合：{ ……}
(4)实数集合： { ……} 2. x 取何值时，下列各式有意义：
3.求下列各数的相反数、倒数和绝对值. (1)5- (2)327
8 (3) 1-π 4.下列判断(1) 12 3 和13 48 不是同类二次根式；(2)
1
45 和1
25 不是同类二次根式；(3)8x 与8
x 不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ）
A. 3
B. 2 C .1 D. 0
5.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. 8x B.x 2－3 C. x －y x
D. 3a 2b
6.x 的取值范围是（ ）
A ．12x ≥
B ．12
x ≤ C ．12x = D ．x 可取一切值
7.x 的取值范围是（ ） A ．3x -≥且0x ≠ B ．3x ≤且0x ≠ C ．0x ≠ D ．3x -≥ 8.x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义
(1)
9.下列哪些是二次根式，哪些不是二次根式
(1) )3x ≤)0x ≤。