[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷415
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 下列无穷小中阶数最高的是( )．
（A）eχ－e tanχ
（B）ln(1＋2t)dt
（C）ln(1＋χ)－sinχ
（D）－1
2 下列命题正确的是( )．
（A）若f(χ)在χ0处可导，则一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ内f(χ)可导
（B）若f(χ)在χ0处连续，则一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ内f(χ)连续
（C）若存在，则f(χ)在χ0处可导
（D）若f(χ)在χ0的去心邻域内可导，f(χ)在χ0处连续，且f′(χ)存在，则f(χ)在χ0处可导，且f′(χ0)f′(χ)
3 下列说法中正确的是( )．
（A）若f′(χ0)＜0，则f(χ)在χ0的邻域内单调减少
（B）若f(χ)在χ0取极大值，则当χ∈(χ0－δ，χ0)时，f(χ)单调增加，当χ∈(χ0，χ0＋δ)时，f(χ)单调减少
（C）f(χ)在χ0取极值，则f(χ)在χ0连续
（D）f(χ)为偶函数，f〞(0)≠0，则f(χ)在χ＝0处一定取到极值
4 设δ＞0，f(χ)在(－δ，δ)内恒有f〞(χ)＞0，且｜f(χ)｜≤χ2，记I-δδ＝∫f(χ)dχ，则有( )．
（A）I＝0
（B）I＞0
（C）I＜0
（D）不能确定
5 设厂有一阶连续的偏导数，且f(χ＋y，χ－y)＝4(χ2－χy－y2)，则χf′χ(χ，y)＋yf′y(χ，y)为( )．
（A）2χ2－8χy－2y2
（B）－2χ2＋8χy－2y2
（C）2χ2－8χy＋2y2
（D）－2χ2＋8χy＋2y2
6 设f(χ)＝χ3－3χ＋k只有一个零点，则k的取值范围是( )．
（A）｜k｜＜1
（B）｜k｜＞1
（C）｜k｜＞2
（D）k＜2
7 设
，则B等于( )．
（A）P1P2-1A
（B）AP1P2-1
（C）P1AP2-1
（D）P2-1AP1
8 设A＝(α1，α2，α3，α4)为四阶方阵，且α1，α2，α3，α4为非零向量组，设AX＝0的一个基础解系为(1，0，－4，0)T，则方程组A*X＝0的基础解系为( )．
（A）α1，α2，α3
（B）α1＋α3，α3，α4
（C）α1，α3，α4
（D）α1＋α2，α2＋2α4，α4
二、填空题
9 ＝_______．
10 设y＝y(χ)由确定，则＝_______．
11 曲线y＝的斜渐近线为_______．
12 ＝_______．
13 y〞－2y′－3y＝e-χ的通解为_______．
14 设A为三阶实对称矩阵，α1＝(m，－m，1)T是方程组AX＝0的解，α2＝(m，1，1－m)T是方程组(A＋E)X＝0的解，则m＝_______．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15 设f(χ)在[0，1]上连续可导，f(1)＝0，∫01χf′(χ)dχ＝2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝4．
16 设u＝f()满足，且f′(χ)＝0． (Ⅰ)求f′(χ)． (Ⅱ)若f(0)＝0，求．
17 设φ连续，且χ2＋y2＋z2＝∫χyφ(χ＋y－t)dt，求2z．
18 设f(χ)，g(χ)满足f′(χ)＝g(χ)，g′(χ)＝2eχ－f(χ)，又f(0)＝0，g(0)＝2，求
19 设f(χ)为[－a，a]上的连续的偶函数且f(χ)＞0，令F(χ)＝∫-a a｜χ－t｜f(t)dt． (Ⅰ)证明：F′(χ)单调增加． (Ⅱ)当χ取何值时，F(χ)取最小值? (Ⅲ)当F(χ)的最小值为f(a)－a2－1时，求函数f(χ)．
20 计算(sinχ2cosy2＋χ)如，其中D：χ2＋y2≤a2．
21 现有两只桶分别盛有10L浓度为15g／L的盐水，现同时以2L／min的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以2L／min的速度注入第二只桶中，然后以2L ／min的速度从第二只桶中排出，问5min后第二只桶中含盐多少克?
22 设A为三阶实对称矩阵，其特征值为λ1＝0，λ2＝λ3＝1，α1，α2为A的两个不同特征向量，且A(α1＋α2)＝α2． (Ⅰ)证明：α1，α2正交． (Ⅱ)求AX＝α2的通解．
23 设α＝(1，1，－1)T是A＝的一个特征向量． (Ⅰ)确定参数口，b的值及特征向量口所对应的特征值， (Ⅱ)问A是否可以对角化?说明理由．。