课后导练
基础达标
1.已知y=f(x)是偶函数,且其图象与x 轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A.0
B.1
C.2
D.4
解析：∵偶函数图象关于y 轴对称,
∴图象与x 轴的交点也关于y 轴对称.
答案：A
2.下列结论正确的是( )
A.偶函数的图象一定与y 轴相交
B.奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0
C.定义域为R 的增函数一定是奇函数
D.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数
答案：B
3.已知函数f(x)=1-x +1+-x ,则f(x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解析：∵x-1≥0,1-x≥0,∴x=1,定义域不关于原点对称.∴函数是非奇非偶函数.
答案：D
4.对于定义域为R 的任意奇函数f(x)都恒成立的是( )
A.f(x)-f(-x)≥0
B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0
D.f(x)·f(-x)>0
解析：∵f(x)在R 上为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)f(-x)=-f 2(x)≤0.故选C.
答案：C
5.已知等式f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意实数x 、y 都成立,则f(x)为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解析：令x=y=0,∴f(0)=2f(0).
∴f(0)=0.
令y=-x,∴f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0.
∴f(-x)=-f(x).故选A.
答案：A
6.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时,f(x)的图象如图所示,那么不等式f(x)<0的解集为…( )
A.(-3,-2)∪(0,1)
B.(-2,-1)∪(0,1)
C.(-3,-1)∪(0,1)
D.(0,1)∪(1,3)
答案：A
7.已知f(x)=ax 2+bx+3a+b 为偶函数,且定义域为［a-1,2a ］,则a=______,b=______.
解析：定义域应关于原点对称,故有a-1=-2a,
∴a=
31.又f(-x)=f(x),∴b=0.故a=3
1,b=0. 答案：31 0 8.函数f(x)和g(x)的定义域为R,若f(x)\,g(x)都是奇函数或都是偶函数,则f(x)与g(x)的积是_____函数(填“奇”或“偶”).
解析：令F(x)=f(x)·g(x),∴F(-x)=f(-x)g(-x)=［-f(x)］［-g(x)］=f(x)g(x)=F(x).
∴f(x)与g(x)的积是偶函数.
答案：偶
9.已知奇函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,试证明y=f(x)在(-∞,0)上的单调性.
证明：f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明如下:任取x 1\,x 2∈(-∞,0),且x 1<x 2,则-x 1\,-x 2∈(0,+∞),且-x 1>-x 2.
由f(x)在(0,+∞)上是增函数,有f(-x 1)>f(-x 2).
又f(x)是奇函数,则有-f(x 1)>-f(x 2),即f(x 1)<f(x 2).
故f(x)在(-∞,0)上也是增函数.
综合运用
10.已知f(x)是定义在［-5,5］上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式中一定成立的是( )
A.f(-1)<f(3)
B.f(0)<f(5)
C.f(3)>f(2)
D.f(2)>f(0)
解析：f(3)>f(1)=f(-1)⇒f(-1)<f(3).
答案：A
11.设函数f(x)(x ∈R )为奇函数,f(1)= 2
1,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于( ) A.0 B.1 C.52 D.5
解析：f(5)=f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+f(2)=f(1)+2f(2).
∵f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=2
1-. 又f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2),
∴f(2)=1.
∴f(5)=2
5. 答案：C 12.已知函数f(x)=a-
121x +,若f(x)为奇函数,则a=___________. 解析：∵x ∈R ,∴f(0)=0.
∴0=a 121+-
x =a 21-. ∴a=2
1. 答案：2
1 13.(1)设奇函数f(x)的定义域为［-5,5］,若当x ∈［0,5］时,f(x)的图象如图(1),则不等式f(x)<0的解是_________.
(1)
解析：作出［-5,0］的图象,利用奇函数图象关于原点对称性来作图.如图(2),依图得
f(x)<0的解集是(-2,0)∪(2,5］.
(2)
答案：(-2,0)∪(2,5］
14.判断函数g(x)=⎪⎩
⎪⎨⎧>+≤<+1x 2,x -1,|x |0,-1,x 2,x 的奇偶性.
解析：对于g(x),可以用画函数图象的方法(
如图所示),因此g(x)为偶函数,也可用定义来判断:
设x<-1,g(x)=x+2,则-x>1,
∴g(-x)=-(-x)+2=x+2=g(x).
设x>1,g(x)=-x+2,则-x<-1,
∴g(-x)=-x+2=g(x).
而-1≤x≤1时,g(-x)=g(x)=0.
综上,有g(-x)=g(x),
∴g(x)为偶函数.
15.已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的a 、b ∈R 都满足f(a·b)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
解析：(1)f(0)=f(0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0,
由f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1),
得f(1)=0.
(2)f(x)是奇函数.
证明：∵f(1)=f ［(-1)2］=-f(-1)-f(-1)=0,∴f(-1)=0.
f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
拓展探究
16.函数f(x)=2
1x b ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(21)=52. (1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
(1)解析：依题意得⎪⎩⎪⎨⎧
==,52
)21
(,
0)0(f f 即⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=
++=+.0,
15
24
1120
012b a b a
b
∴f(x)=21x x
+.
(2)证明：任取-1<x 1<x 2<1.
f(x 1)-f(x 2)=2111x x +22
2
1x x +- =)
1)(1()
1()(22212121x x x x x x ++•-•-.
∵-1<x 1<x 2<1,
∴x 1-x 2<0.
1+x 12>0,1+x 22>0.
又-1<x 1·x 2<1,
∴1-x 1x 2>0.
∴f(x 1)-f(x 2)<0.
∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)解析：f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴-1<t-1<-t<1.
解之,得0<t<21
.。