2014-2015随机过程参考题一.判断题1.若随机变量的特征函数存在,则可以用它来刻画随机变量的概率分布. ( ) 2.对于独立的随机变量1,,n X X ,都有[]11n nk k k k E X E X ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∏∏. ( )3.若12(,,)n F x x x 是随机向量1=,,)n X X X (的联合分布函数,则它对每个变量都是单调不减的. ( ) 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性. ( ) 5.非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性. ( ) 6.参数为λ的泊松过程第n 次与第1n -次事件发生的时间间隔n X 服从参数为n 和n λ的Γ分布. ( )7.复合P o i s s o n 过程一定是计数过程. ( ) 8.若随机变量X 服从周期为d 的格点分布,则对自然数n 总有{}0P X nd =>.( ) 9.设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态,则它们的周期相等. ( ) 10.离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . ( ) 11.一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定. ( ) 12.对独立的随机变量1,,n X X ,都有[]11n nk k k k Var X Var X ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∏. ( )13.一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。
( )14.若一个随机过程的协方差函数,s t γ()只与时间差t s -有关,则它一定是宽平稳过程. ( ) 15.参数为λ的泊松过程中,第n 次事件发生的时刻n T 服从参数为λ的指数分布.( ) 16.非齐次泊松过程不具有独立增量性,但具有平稳增量性. ( ) 17.更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新. ( ) 18.更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数. ( ) 19.马尔科夫链具有无后效性. ( ) 20.Poisson 过程是更新过程. ( ) 具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。
( ) 21.若一个随机过程是宽平稳的,则它一定是严平稳的。
( )22.参数为λ的泊松过程中,两次事件发生的等待时间服从参数为λ的指数分布。
( ) 23.泊松过程具有独立增量性,但不一定有平稳增量性。
( ) 24.随机变量X 服从周期为d 的格点分布,但不是所有的d 的整数倍处都能取到。
( ) 25.更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数 。
( ) 26.设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态,则它们的常返性一样。
( ) 二填空题. 1.设12,,X X 是一列独立同分布的随机变量,N 为一个非负整值随机变量,且与序列12,,X X 独立,则1N i i E X =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ .2.设()()X t Y tZ a t b =+≤≤,其中Y 和Z 是相互独立的且均服从标准正态分布的随机变量,则随机过程(){},X t a t b ≤≤的协方差函数()12,t t γ= . 3.设(){},X t t -∞<<∞为一平稳过程,均值为μ,如果()1lim 2TTT X t dt Tμ-→∞=⎰,则称该随机过程 .4.设(){}N ,t 0t ≥是参数为λ的泊松过程,则()N t 服从均值为_______的泊松分布. 5.设(){}N ,t 0t ≥是参数为λ的泊松过程,则对0t ∀>,当0h ↓时,有()(){}=1P N t h N t +-=_____________. 6.设{}X ,1,2,n n =是一列独立同分布的非负随机变量,分布函数为()F x ,则由其所定义更新过程(){},0N t t ≥的更新函数()M t =_________________(分布函数表示). 7.设12,,X X 是一列独立同分布的随机变量,且其期望存在,(){},0N t t ≥是由该随机变量序列所定义的更新过程,则第()1N t +次更新发生时刻的期望()1N t E T +⎡⎤=⎣⎦_________.8.设{},0,1,n X n =为离散时间的马氏链,则对010,,,,,n n i j i i -∀≥∀,有{}1110,,,n n n n P X j X i X i X i +--=====____________________.9.设{},0,1,n X n =为离散时间的时齐马氏链,状态空间为S ,则状态i 到j 的m n +步转移概率()m n ijp +=____________________(C-K 方程). 10.状态i 为常返的当且仅当 ;状态i 为非常返状态时有 . 11.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则X 的期望为 . 12. . 13.设()0= ()X t Xt V a t b +≤≤,其中0X 和V 是相互独立且均服从()0,1N 分布的随机()badF x =⎰变量,则它的均值函数为 ,协方差函数12t t γ(,)= .14.设(){},0N t t ≥是参数为λ的泊松过程,则()()N t N s -服从参数为_______的泊松分布.15.称随机过程(){},t 0X t ≥为复合泊松过程,如果对于t 0≥,()X t 可表示为:式中,(){},0N t t ≥是一个泊松过程,{},1,2,i Y i =是一族独立同分布的随机变量,并且与(){},0N t t ≥独立。
16.设{}X ,1,2,n n =是一列独立同分布的非负随机变量,分布函数为()F t ,则由其所定义更新过程(){},0N t t ≥的更新函数()M t =_________________________. 17.若12X X ,,是独立同分布的随机变量,设[](1,2,)i E X i <∞=,则12()1[]N t E X X X ++++=18.随机过程{}X ,1,2,n n =称为马尔科夫链,若它只取有限或可列个值,并且对任意的0n ≥及任意的状态011,,,,,n i j i i i -,{}1111100,,,,n n n n P X j X i X i X i X i +--======____________________.19.非周期的正常返状态称为__________________. 20.离散时间马氏链中的转移矩阵中,ijj Sp∈=∑__________________.21.设{,1,2,}n A n =为一集合序列,则limsup n n A →∞= ,lim inf n n A →∞= .22.若X 是F 可测的,则()E X =F . 23.设{},0,1,2,n X X n ==±±是平稳序列,其协方差函数为()γτ,则X 的均值具有遍历性的充分必要条件是 .24.设(){},0N t t ≥是参数为λ的泊松过程,则()[]E N t = ____ ___. 25.设{}X ,1,2,n n =是一列独立同分布的非负随机变量,分布函数为()F x ,则(){},0N t t ≥由其所定义更新过程,则(){}=P N t n = _________________(其中nF 是F的n 重卷积). 26.设12,,X X 是一列独立同分布的随机变量,且其期望存在,(){},0N t t ≥是由该随机变量序列所定义的更新过程,()M t 为其更新函数,=()n E X μ,则 _________. ()lim t M t t→∞=27.设马氏链的一步转移概率矩阵()ij P p =,n 步转移矩阵()()()n n ij P p =,二者之间的关系为 .三 计算题1.设顾客以每分钟2人的速率到达商场,这一过程可用泊松过程来描述,进入商场的每位顾客的消费额服从均值为200元的正态分布,求: (1)在5分钟内至少有一个顾客到来的概率; (2)商场一个小时的平均营业额.2.设某控制器用一节电池供电,电池寿命i X 服从均值为5小时的正态分布,电池失效时需要去仓库领取,领取新电池的时间i Y 服从期望为0.5小时的均匀分布.求长时间工作时,控制器更换电池的速率.3.设马氏链的状态空间为{}0,1,2,S =,转移概率为0012p =,,112i i p +=,012i p =,i S ∈.试写出:(1)画出各状态的概率转移图;(2)给出各个状态的分类,确定哪些状态是遍历的. 4.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,即密度函数为:试利用矩母函数求它的期望和方差。
5.设()12=cos sin X t Z t Z t λλ+,其中12Z Z ,是独立同分布的随机变量,服从均值为0,方差为2σ的正态分布,λ为实数。
求过程(){, }X t t T ∈的均值函数与方差函数,并讨论它的宽平稳性。
6. 设在[0, t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是2λ=(人/分)的泊松过程,试求:(1)在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率;(2)第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率; (3)相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。
7.设有一个单服务员银行,顾客到达可看做速率为λ的泊松分布,服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量,服从均值为1μ的指数分布。
顾客到达门口只有在服务员空闲时才准进, 0()0, 0x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩来。
试求:(1)顾客进银行的速率;(2)服务员工作的时间所占营业时间的比例。
8.设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率.9.考虑离散时间的更新过程(),(0,1,2,)N n n =,在每个时间点独立地做伯努利试验,设试验成功的概率为p ,失败的概率为1q p =-,以试验成功作为更新事件,并以()M n 记此过程的更新函数,求其更新率 .10.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。
又设今天下雨而明天也下雨的概率为α,而今天无雨明天有雨的概率为β;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。
设0.7,0.4αβ==,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。
11.设马氏链的状态空间为{}1,2,3,4S =,其一步转移概率矩阵1100221000120033110022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,试写出: (1)画出各状态的概率转移图;(2)给出各个状态的分类,确定哪些状态是遍历的.12. 设(){},0N t t ≥是强度为λ的泊松过程,,1,2,k Y k =是一列独立同分布随机变量,且与(){},0N t t ≥独立,令()1()0N t kk X t Y t ==≥∑,,证明:若21EY <∞,则1[()]EX t t E Yλ=.()lim n M n n→∞。