2016随机过程（A ）解答1、（15分）设随机过程V t U t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。

1) 求)(t X 的一维概率密度函数；2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解：由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +⋅=)(也服从正态分布，且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==⋅+=⋅+=+{}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==⋅+=+=+故： (1) )(t X的一维概率密度函数为：()222218(1)(),x t t t f x ex ---+=-∞≤≤∞(2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为：{}{}(,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =⋅=⋅+⋅⋅+{}{}{}22()13()413st E U s t E U V E V st s t =⋅++⋅⋅+=⋅++⋅+协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-⋅=+（3）相关系数：(,)s t ρρ====)(t X 的二维概率密度函数为：2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x eρ⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪+⎢⎥⎨⎬-++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。

问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。

将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为：419,04()80,47t t t t λ+≤≤⎧=⎨<≤⎩在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值：646224(6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=⎰⎰⎰在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率为：{}0282282(282)(6)(2)00!P X X e e ---==⋅=在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差相等，均为：(6)(2)282m m -=3、（13分）设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周有8户定居，如果一户4人的概率为0.2，如果一户3人的概率为0.3，一户2人的概率为0.3，一户1人的概率为0.2，并且每户的人口数是相互独立的随机变量，求在8周内移民到该地区人口数的数学期望与方差。

解：已知移民到某地区定居的户数)(t N 是一个强度8λ=的泊松过程，第i 户的人口数）（Λ,2,1=i Y i 是相互独立同分布的随机变量，在t 周内移民到该地区人口数：∑==)t (N 1i i Y )t (X 是一个复合泊松过程，i Y 的分布为：12340.20.30.30.2i Y P 22.57.3EY EY ∴==由公式：()()2tEY )t (X D ,tEY )t (X E λλ== 可得在5周内移民到该地区人口数的数学期望与方差为：()()(5)88 2.5160,(5)887.3467.2E X D X =⨯⨯==⨯⨯=4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.20.30.50.10.50.40.60.20.2P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1） 求马尔可夫链的平稳分布及各状态的平均返回时间。

（2） 求两步转移概率矩阵)2(P及当零时刻初始分布为：000{1}0.2,{2}0.2,{3}0.6,P X P X P X ======时，经两步转移后的绝对分布。

解：（1）此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布123{,,}Tππππ=满足：1123212331231230.20.10.60.30.50.20.50.40.21πππππππππππππππ=⋅+⋅+⋅⎧⎪=⋅+⋅+⋅⎪⎨=⋅+⋅+⋅⎪⎪++=⎩ 解得：123323437,,103103103πππ=== 故平稳分布323437{,,}103103103Tπ= 各状态的平均返回时间：123123110311031103,,323437μμμπππ======（1）(2)0.20.30.50.20.30.50.370.310.320.10.50.40.10.50.40.310.360.330.60.20.20.60.20.20.260.320.42P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⋅=⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭已知初始分布：(0)(0.20.20.6)TP =，所以经两步转移后的绝对分布为：(2)0.370.310.32(2)(0)(0.20.20.6)0.310.360.33(0.2920.3260.382)0.260.320.42T T P P P ⎛⎫ ⎪=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭5、（10分）假定在路口只有红、绿灯（没有黄灯），开车时这个路口如果红灯则下个路口仍红灯的概率为0.1，而如果这个路口绿灯则下个路口仍绿灯的概率为0.6，试求路口遇红灯的极限概率，以及红灯和绿灯状态的平均返回时间。

解：设红灯为状态1，绿灯为状态2，可以求出其转移概率矩阵为：0.10.90.40.6P ⎛⎫=⎪⎝⎭此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布12{,}Tπππ=满足：112212120.10.40.90.61ππππππππ=⋅+⋅⎧⎪=⋅+⋅⎨⎪+=⎩ 解得：1249,1313ππ== 故平稳分布49{,}1313Tπ=路口遇红灯的极限概率为1413π=红灯和绿灯状态的平均返回时间：1212113113,49μμππ==== 6、（15分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：0.00.30.00.70.00.10.20.30.20.20.00.00.40.00.60.00.40.00.60.00.00.00.20.00.8P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1）试对状态进行分类，并说明各状态的类型；（2）求各常返闭集的平稳分布，及各状态的平均返回时间。

解：马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I 可以分解为1{1,2,4}C =和2{3,5}C =的并。

其中1C 为非常返状态；2C 为不可约、非周期、正常返闭集，从而存在平稳分布。

对于2{3,5}C =，转移概率矩阵为：0.40.60.20.8⎛⎫⎪⎝⎭，其平稳分布满足：335535350.40.20.60.81ππππππππ=⋅+⋅⎧⎪=⋅+⋅⎨⎪+=⎩ 解得：3513,44ππ== 故2{3,5}C =的平稳分布13{0,0,,0,}44Tπ=各常返状态的平均返回时间：35351144,3μμππ====7、（10分）一质点在1，2，3点上作随机游动。

若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在),[h t t +内，它都以概率)(5h o h + 分别转移到其它两点之一。

试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。

解：质点随机游动t 时刻的位置()X t 是一个马尔科夫过程，其状态空间：{1,2,3}I =，Q 矩阵元素为：00()5()limlim5,()ij ij h h p h h o h q i j h h→→+===≠,1,1()10ii i i i i q q q -+=-+=-，（其中约定状态：0=3，4=1） 即： 105551055510Q -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭柯尔莫哥洛夫向前微分方程为：,,1,1,()5(()())10()i j i j i j i j p t p t p t p t -+'=+-由于：,1,,1()()()1i j i j i j p t p t p t -+++=得到：,,,,()5(1())10()15()5i j i j i j i j p t p t p t p t '=--=-+ 解此一阶线性微分方程得：15,1()3ti j p t C e-=⋅+，C 为待定常数。

又因：,0,(0)1,i j i jp i j ≠⎧=⎨=⎩故转移概率)(t p j i 为：15,1511,33()21,33t i j t e i j p t e i j --⎧-+≠⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩平稳分布为：1lim (),(1,2,3)3j i j t p t j π→∞===8、（10分）设随机过程+∞<<∞-Θ+=t t t X ,)(sin )(2，其中Θ是服从区间],0[π上的均匀分布的随机变量。

试回答：)(t X 是否为（宽）平稳过程？研究X 的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。

解：[]22011()sin ()sin ()2E X t E t t d πθθπ⎡⎤=+Θ=+=⎣⎦⎰[]222201()(-)sin ()sin ()sin ()sin ()11cos(2)48E X t X t E t t t t d πττθτθθπτ⎡⎤⋅=+Θ⋅-+Θ=+⋅-+⎣⎦=+⎰故所以，)(t X 是（宽）平稳过程。

211()sin ()22..TT TX t t dt Tl i m →∞-=+Θ=⎰ 故)(t X 的均值函数具有各态历经性。

221()(-)sin()sin ()211cos(2)48..TT TX t X t t t dtTl i m τττ→∞-⋅=+Θ-+Θ=+⎰故)(t X 的相关函数具有各态历经性。