第一章典型例题例3…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。
ln2? 第二章典型例题例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T第3次迭代，k =2X (3)＝(1,1,1)T第4次迭代，k =3X (4)＝(1,1,1)T例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。
证明 例2中线性方程组的系数矩阵为A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-122111221 于是D ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001 D －1＝D⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=022001000L ~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为B 0＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。
高斯－赛德尔迭代矩阵为G ＝－U ~)L~D (1-+＝－⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2003202200001002201200110010001002201220110011解得特征根为?1=0，?2,3=2。
由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。
例5 填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
答案：⎩⎨⎧=+--=-5.35.125.15.03232x x x x解答 选a 21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x 1+2x 2+3x 3=3，消元得到 是应填写的内容。
3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中)1(2+k x ＝ (k =0,1,2,…)答案：)(3)1(13k k x x --+解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x 2的值时应该用上x 1的新值。
第三章典型例题例1 已知函数y =f (x )的观察数据为试构造拉格朗日插值多项式P n (x )，并计算f (－1)的近似值。
[只给4对数据，求得的多项式不超过3次]解 先构造基函数所求三次多项式为P 3(x )=∑=nk k k x l y 0)(＝845-4-⨯5-))((x x x ＋405-4-2+))()((x x x －245-2+⨯3-))(()(x x x ＋354-2+)()(x x x＝1+2155-141-42523x x xf (－1)?P 3(－1)＝724=1+2155-141-425-例3 设n x x x x ,...,,,210是n +1个互异的插值节点，),...,,,)((n k x l k 210=是拉格朗日插值基函数，证明： (1) 1≡∑0=nk kx l)( (2)),...,,,()(n m x x x lm nk mk k210=≡∑0=证明 (1) P n (x )=y 0l 0(x )+y 1l 1(x )+…+y n l n (x )=∑=nk k k x l y 0)(当f (x )?1时，1＝)()!()()()()()(x n f x l x R x P n n kk k n n 1+1+0=1++⨯1=+∑ωξ 由于0=1+)()(x f n ，故有1≡∑0=nk k x l )((2) 对于f (x )=x m ,m =0,1,2,…,n ，对固定x m (0?m ?n ), 作拉格朗日插值多项式，有当n >m －1时，f (n +1) (x )=0，R n (x )=0，所以注意：对于次数不超过n 的多项式011-1-++++=a x a x a x a x Q n n n n n ..)(,利用上结果，有=∑∑∑∑0=00=10=1-1-0=++++nk k n k k k nk n kk n nk nkk n x l a x x l a xx l a x x l a )()(...)()(=∑∑==--=++++nk k kn nk k n kn nkn k x l x Qa ax x a x a x l 00011)()(]...)[(上式∑=nk k k n x l x Q 0)()(正是Q n (x )的拉格朗日插值多项式。
可见，Q n (x )的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n 的多项式在n +1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。
例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。
解 计算列入表中。
n =5。
a 0,a 1满足的法方程组是解得a 0=, a 1=。
所求拟合直线方程为 y =+ 例6选择填空题1. 设y =f (x ), 只要x 0,x 1,x 2是互不相同的3个值，那么满足P (x k )=y k (k =0,1,2)的f (x )的插值多项式P (x )是 (就唯一性回答问题)答案：唯一的3. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( )(A) )()!()()()()()(x n f x P x f x R n n n n 1+1+1+=-=ωξ (B) f (x ,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n )(C) )!()()()()()(1+=-=1+n f x P x f x R n n n ξ(D) f (x ,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 0)(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n )答案：(A)，(D)。
见教材有关公式。
第四章典型例题 例1 试确定求积公式)()(d )(31+31-≈⎰11-f f x x f 的代数精度。
[依定义，对x k (k =0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k 数值]解 当f (x )取1,x ,x 2,…时，计算求积公式何时精确成立。
(1) 取f (x )=1,有左边＝2=1=⎰⎰11-11-x x x f d d )(, 右边＝2=1+1=31+31-)()(f f(2) 取f (x )=x ,有左边＝0=0=⎰⎰11-11-x x x f d d )(, 右边＝0=31+31-=31+31-)()(f f(3) 取f (x )=x 2,有左边=32==⎰⎰11-211-x x x x f d d )(, 右边=32=31+31-=31+31-22)()()()(f f(4) 取f (x )=x 3,有左边=0==⎰⎰11-311-x x x x f d d )(, 右边=0=31+31-=31+31-33)()()()(f f(5) 取f (x )=x 4,有左边=52==⎰⎰11-411-x x x x f d d )(, 右边=92=31+31-=31+31-44)()()()(f f当k ?3求积公式精确成立，而x 4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。
例5 试确定求积公式)]()0([)]()0([2d )(20h f f ah h f f h x x f h '-'++≈⎰中的参数a ，并证明该求积公式具有三次代数精度。
解 公式中只有一个待定参数a 。
当f (x )=1,x 时，有0]11[2d 10++=⎰hx h,即h =h)11(]0[2d 120-++=⎰ah h h x x h ,2222h h =不能确定a ，再令f (x )=x 2, 代入求积公式，得到)202(]0[2d 2202h ah h h x x h-⨯++=⎰,即 333223ah h h -= 得121=a . 求积公式为)]()0([12)]()0([2d )(20h f f h h f f h x x f h '-'++≈⎰将f (x )=x 3代入上求积公式，有可见，该求积公式至少具有三次代数精度。
再将f (x )=x 4代入上公式中，有 所以该求积公式具有三次代数精度。
例6 选择填空题 1. 牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是 。
解答：牛顿－科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。
第五章典型例题例1 证明方程1－x －sin x ＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过×10－4的根要迭代多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin 1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根。
又f ?(x )=1－cos x >0(x ?[0，1]),故f (x )＝0在区间[0，1]内有唯一实根。
给定误差限?＝×10－4，有只要取n ＝14。
例2 用迭代法求方程x 5－4x －2＝0的最小正根。
计算过程保留4位小数。
[分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间。
若建立迭代格式)),(()(,)(,21∈1>45='42-=42-=454x x x x x x x ϕϕ即，此时迭代发散。
建立迭代格式)21(54)24(54)(,24)(,245455≤≤<+='+=+=x x x x x x x ϕϕ，此时迭代收敛。
解 建立迭代格式 1)),21(54)24(54)(054=≤≤<+='x x x x 取初始值ϕ(可任取1，2之间的值)≈6=2+4=5501x x 0 ≈7247=2+4=5512.x x 1≈02048=2+4=5523.x x 5 ≈0668=2+4=5534.x x 2≈07288=2+4=5545.x x取≈*x例3 试建立计算3a 的牛顿迭代格式，并求3791411.的近似值，要求迭代误差不超过10－5[分析]首先建立迭代格式。