快速傅里叶变换实验————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ实验七快速傅里叶变换实验20１1０１0５４1ﻩ机１4 林志杭一、实验目的1.加深对几个特殊概念的理解：“采样”……“混叠”;“窗函数”（截断）……“泄漏”；“非整周期截取”……“栅栏”。

２．加深理解如何才能避免“混叠”，减少“泄漏”，防止“栅栏”的方法和措施以及估计这些因素对频谱的影响。

3．对利用通用微型计算机及相应的FFＴ软件，实现频谱分析有一个初步的了解。

二、实验原理为了实现信号的数字化处理，利用计算机进行频谱分析――计算信号的频谱。

由于计算机只能进行有限的离散计算(即ＤFT)，因此就要对连续的模拟信号进行采样和截断。

而这两个处理过程可能引起信号频谱的畸变，从而使DFT的计算结果与信号的实际频谱有误差。

有时由于采样和截断的处理不当，使计算出来的频谱完全失真。

因此在时域处理信号时要格外小心。

时域采样频率过低，将引起频域的“混叠”。

为了避免产生“混叠”,要求时域采样时必须满足采样定理,即:采样频率fｓ必须大于信号中最高频率fc的2倍（ｆｓ＞2fc)。

因此在信号数字处理中，为避免混叠，依不同的信号选择合适的采样频率将是十分重要的。

频域的“泄漏”是由时域的截断引起的。

时域的截断使频域中本来集中的能量向它的邻域扩散(如由一个δ(f）变成一个siｎc(f），而泄漏的旁瓣将影响其它谱线的数值。

时域截断还会引起“栅栏效应”,对周期信号而言，它是由于截断长度不等于周期信号的周期的整数倍而引起的。

因此避免“栅栏”效应的办法就是整周期截断。

综上所述,在信号数字化处理中应十分注意以下几点：1．为了避免“混叠”,要求在采样时必须满足采样定理。

为了减少“泄漏”，应适当增加截断长度和选择合适的窗对信号进行整周期截取,则能消除“栅栏数应”。

增加截断长度，则可提高频率分辨率。

三、预习内容熟悉Mａtlab语言、函数和使用方法；利用Ｍatｌab所提供的ＦFT函数编写程序。

四、实验内容及步骤调通所编写的程序,对下列信号〔函数〕进行离散FFT变换,根据题目的要求……FFT变换点数〔截断长度〕及采样频率,计算各点的傅里叶变换值,画出频谱图,对典型的谱线标出其幅值及相角。

（-)内容:1．ttttx3cos2sin)6sin()(ωωπω+++=代码：N=ｉnput(＇N='); n=input（'ｎ=')；ｔ=1：1：Ｎ；ｗ=2*pi；x1＝siｎ(w＊(t-1)／ｎ+pi／6)+sｉｎ(2＊w*(t-1）/n)+coｓ（3＊w*（ｔ-1)／ｎ); y＝ffｔ(x1);y＝ffｔshift(ｙ);ａn=anｇle（y）／pi*1８0；ｙ=aｂs(y)/Ｎ;figuｒe(１)；bａr（ｔ,y,０.3）;ｇrｉd on;以下类似(1）采样频率fs＝８f０,截断长度N=16幅频谱相频谱024681012141618 00.10.20.30.40.50.60.7①最高频率为3f 0，采样频率为８f 0，满足采样定理。

采样点数Ｎ＝１6,分辨率:05.0f Nf f s==∆。

关注频率为正负１、2、３倍频（2）fs=8 ｆ0，Ｎ=３２ 幅频谱024681012141618-200-150-100-50050100150200相频谱①最高频率为３f 0 ,采样频率为8f 0，满足采样定理。

采样点数N=32,分辨051015202530350.10.20.30.40.50.60.705101520253035-200-150-100-50050100150200率:D f =f sN =0.25f 0。

关注频率为正负1、2、3倍频②由上述分析可见,两种采样均满足采样定理,不出现混叠。

③以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取（2倍及4倍原函数周期)，故没有出现现泄露现象。

④由于整周期截取,未产生栅栏效应。

⑤误差分析:]3cos )3cos()22cos()22cos()3cos()3[cos(21)(000000t t t t t t t x ωωπωπωπωπω+-+-++-+-++-=明显关注频率为正负１、2、３倍频,理论上分解的幅值及相角与做ＦF Ｔ得到的值一样，幅值误差及相角误差均为零。

２．tt t x 0011sin )6sin()(ωπω++=(1）fs=8 f0,N=16幅频谱相频谱0246810121416180.10.20.30.40.50.60.7①最高频率为11f 0 ，采样频率为8f 0 ，不满足采样定理。

采样点数Ｎ=16，分辨率:D f =f sN =0.5f 0。

关注频率为正负１、11倍频（２）fs=３２ f0，N=32幅频谱24681012141618-100-80-60-40-20020406080100相频谱①最高频率为11f 0 ,采样频率为32f 0 ，满足采样定理。

采样点数N=32，分辨率：510152025303500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.505101520253035-100-80-60-40-20020406080100D f=fsN=f。

关注频率为正负1、11倍频②(1)中采样不满足采样定理,正负11倍频未取到,在正负3倍频处出现混叠，要消除混叠则可以增加采样频率。

（2)中采样满足采样定理，未出现混叠。

③以上截取方式相当于添加了矩形窗函数,理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取(2倍及1倍原函数周期)，故没有出现泄露现象。

④由于整周期截取，未产生栅栏效应。

⑤误差分析:x(t)=12[cos(-wt+p3)+cos(wt-p3)+cos(-11wt+p2)+cos(11wt-p2)]明显关注频率为正负１、11倍频,理论上分解的幅值及相角与做FＦT得到的值比较：(１）中采样正负1倍频的幅值相角均无误差,但由于未采到正负11倍频,故误差为1０0% 。

(2）中采样的幅值及相角误差均为0。

3．t t x10cos)(ω=(1）fs=8 f0，N=１6 幅频谱相频谱024681012141618 00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5①最高频率为10f 0,采样频率为8f 0 ,满足采样定理。

采样点数Ｎ=16,分辨率：D f =f sN =0.5f 0。

关注频率为10倍频(２） fs=3２ f0，Ｎ＝3２ 幅频谱024681012141618-150-100-5050100150200相频谱①最高频率为10f 0，采样频率为３2f 0 ，满足采样定理。

采样点数N=3２，分辨510152025303500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.505101520253035-150-100-5050100150率:D f =f sN =f 0关注频率为10倍频②由上述分析可见，2种采样均满足采样定理,未出现混叠。

③以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应,由于均未整周期截取，故出现了泄露现象。

除两条幅值较大的谱线外,还出现了一些幅值较小的谱线。

且由于（2)中窗宽度更小，泄露更加明显。

④由于非整周期截取,产生了栅栏效应,频谱图中只有整周期频率而无10 f 0。

且(2)中分辨率较低,相对（1)栅栏效应更明显。

要减少泄露效应，可以采用其他类型的窗函数,或将截断长度调整为整周期。

要避免栅栏效应，可以将截断长度调整为整周期。

然而由于该种x(t ）中频率为无理数，难以做到整周期截断,因此不能完全避免泄露和栅栏效应。

⑤误差分析:x (t )=cos 10w 0t明显关注频率为10倍频,理论上分解的幅值及相角与做ＦFT 得到的值比较:实际所求并没有理论的频率,故用3倍频来近似。

理论、实际的幅值和相角分别为: （1）中:1、0.91，0ｄeg 、5７de ｇ，（2）中：１、0.９82，０ｄｅｇ、27．7ｄｅg 故误差: （1）中:deg5709.0=∆-=∆φA(２）中： deg7.27018.0=∆-=∆φA4．t t x 010cos )(ω=对信号加窗(Hanning Wi ｎdow ）⎪⎩⎪⎨⎧〈〈-=00)2cos 1(21)(Tt T t t w π（1） fs=８ f0,Ｎ＝16 幅频谱相频谱①最高频率为10f 0 ,采样频率为8f 0 ,满足采样定理。

采样点数N ＝1６，分辨0246810121416180.050.10.150.20.25024681012141618-150-100-5050100150200率:D f=fsN=0.5f。

关注频率为10倍频(2) fs=３2 f0,N=３２幅频谱相频谱05101520253035 00.050.10.150.20.25①最高频率为10f 0 ,采样频率为３２f 0 ，满足采样定理。

采样点数Ｎ=3２，分辨率：D f =f sN =f 0。

关注频率为10倍频②2种采样均满足采样定理，未出现混叠。

③以上方式相当于添加了汉宁窗函数，理论上存在泄漏效应且由于均未整周期截取，故出现了泄露现象。

除两条幅值较大的谱线外,还出现了一些幅值较小的谱线。

且由于（2)中窗宽度更小,泄露更加明显。

要减少泄露效应,可以采用其他类型的窗函数，或将截断长度调整为整周期。

④由于非整周期截取,产生了栅栏效应,频谱图中只有整周期频率而无10 f 0。

且（2)中分辨率较低,相对（1)栅栏效应更明显。

要避免栅栏效应，可以将截断长度调整为整周期。

然而由于该种x(t ）中频率为无理数，难以做到整周期截断,因此不能完全避免泄露和栅栏效应。

⑤误差分析:x (t )=cos 10w 0t明显关注频率为10倍频,理论上分解的幅值及相角与做F ＦＴ得到的值比较:实际所求并没有理论的频率,故用3倍频来近似。

理论、实际的幅值和相角分别为：(1)中：1、０.4２2，0deg 、56.６ｄｅg ， (２)中:1、0．4９2,0de ｇ、29.2deg 故误差：05101520253035-200-150-100-50050100150200（1)中： deg 6.56578.0=∆-=∆φA（2)中：deg 2.29508.0=∆-=∆φA 可见：在为按整周期截取时,采用汉宁窗函数所得到的结果相对矩形窗并没有得到改善。

5.)699.0sin()(0πω+=t t x (1) fs ＝8 ｆ0，N ＝16幅频谱相频谱0246810121416180.10.20.30.40.50.60.7①最高频率为0.９９f 0 ，采样频率为8f 0，满足采样定理。