分式和分式方程 专题复习讲义中考考点知识梳理： 一、分式1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。

其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质 （1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法则（1） ;;bc adc d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯（2）);()(为整数n b a ba n nn =（3）;c b a c b c a ±=± （4）bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

考点典例一、分式的值【例1】当x= 时，分式x－22x＋5的值为0．【答案】2. 【解析】试题分析：∵x－22x＋5的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式.【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件. 【举一反三】1.使分式11x-有意义的x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A．考点：分式有意义的条件．2.若分式211xx-+的值为0，则x＝【答案】1 【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，211xx-+＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解. 答案为1.考点：分式方程的解法 考点典例 二、分式的化简【例2】化简2(1)1a a a -+-的结果是（ ） A ．11a - B ．11a -- C ．211a a -- D ．211a a --- 【答案】A ． 【解析】试题分析：原式=22(1)1a a a ---=11a -，故选A ．考点：分式的加减法．【点睛】观察所给式子，能够发现是异分母的分式减法。

利用异分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【举一反三】 1.化简：÷= ．【答案】x 1.【解析】试题分析：原式=xx x x x x 1)3()2()2(322=+-⋅-+. 考点：分式的化简. 2.计算：= ．【答案】325a c . 【解析】试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原式=3225125ac a a c =⋅.考点：分式的运算.3.计算： = ．【答案】325ac.【解析】试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原式=3225125acaac=⋅.考点：分式的运算.考点典例三、分式方程【例3】方程532x x-=-的解为．【答案】x=﹣3．考点：解分式方程．【点睛】先去掉分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。

【举一反三】1.方程12＝2x x－3的解是 .【答案】x=-1.【解析】试题分析：方程两边同乘以2x（x-3）得，x-3=4x，解得x=-1，经检验x=-1是原方程的解.考点：解分式方程.2.用换元法解方程x x 122-﹣122-x x =3时，设xx 122-=y ，则原方程可化为（ ）A ．y=y 1﹣3=0 B ．y ﹣y 4﹣3=0 C ．y ﹣y 1+3=0 D ．y ﹣y4+3=0 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵设xx 122-=y ，则122-x x =y 1，原方程可转化为：y ﹣y 4=3，即y ﹣y 4﹣3=0．故答案选B ．考点：换元法解分式方程． 考点典例四、分式方程的应用【例5】穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h ，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ）A.4804804160x x -=+B.4804804160x x -=+C.4804804160x x -=-D.4804804160x x -=- 【答案】B ． 【解析】考点：由实际问题抽象出分式方程．【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解. 【举一反三】1. A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运40千克，A 型机器人搬运1200千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等．设B 型机器人每小时搬运化工原料x 千克，根据题意可列方程为（ ）A.120080040x x =+B.120080040x x =-C.120080040x x =-D.120080040x x =+【答案】A． 【解析】考点：由实际问题抽象出分式方程．2.在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学将3x 看成了8x ，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是（ ）A ．11538x x =-B ．11538x x =+C ．1853x x =-D ．1853x x =+【答案】B. 【解析】试题分析：根据题意，3X 的倒数比8X 的倒数大5，故答案选B. 考点：倒数.课后自测小练习一．选择题1．下列运算结果为x -1的是（ ）A ．11x -B ．211x x xx -•+ C ．111x x x +÷- D ．2211x x x +++ 【答案】B. 【解析】试题分析：选项A ，原式=x x 12-；选项B ，原式=x-1；选项C ，原式=xx 12-；选项D ，原式=x+1，故答案选B.考点：分式的计算.2.下列分式中，最简分式是（ ）【答案】A.【解析】考点：最简分式.3.下列计算正确的是（）A、x2y2=xy(y¹0)B、xy2¸12y=2xy(y¹0)C、2x+3y=5xy(x³0,y³o)D、(xy3)2=x2y6【答案】D.【解析】试题分析：选项A错误；选项B，xy2¸12y=xy2·2y=2xy3，错误;选项C，2x+3y,由于x与y 不是同类二次根式，不能进行加减法，错误；选项D、根据幂的乘方运算法则就可以得出答案，正确，故答案选D.考点：代数式的运算.4.若关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣34【答案】B.【解析】考点：分式方程的解．5.某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（）A．40040010020x x+=+B．40040010020x x-=-C ．40040010020x x +=- D ．40040010020x x -=+ 【答案】B ． 【解析】试题分析：设提速前列车的平均速度为xkm /h ，根据题意可得：40040010020x x -=-．故选B ． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 二．填空题6.当x = 时，分式132x x -+的值为0． 【答案】1． 【解析】试题分析：当x ﹣1=0时，x =1，此时分式132x x -+的值为0．故答案为：1． 考点：分式的值为零的条件． 7.方程21x x-=的正根为 ． 【答案】x =2． 【解析】考点：分式方程的解． 8.分式方程212011x x +=--的解是__________． 【答案】x = -3 【解析】试题分析：因为x 2-1=（x +1）（x -1），所以可确定最简公分母（x +1）（x -1），然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验． 试题解析：方程两边同乘（x +1）（x -1）， 得x +1+2=0， 解得x =-3．经检验x =-3是分式方程的根． 考点：解分式方程. 9.若分式方程1x x -﹣1m x-=2有增根，则这个增根是 ． 【答案】x =1． 【解析】试题分析：因为分式方程有增根，所以x ﹣1=0，即x =1，故方程的增根为x =1． 故答案是x =1．考点：分式方程的增根． 10.分式方程的解为 ．【答案】x=4 【解析】考点：分式方程的解法． 三、解答题11.先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．【答案】原式=（a ﹣2）2，当a=2，原式=（2﹣2）2=6﹣42 【解析】试题分析：先把括号内通分化简后把乘除化为乘法，再进行约分，化为最简分式后代入计算即可． 试题解析：原式=÷[﹣]=÷=•=（a ﹣2）2，∵a=，∴原式=（﹣2）2=6﹣4考点：分式的化简求值．12.先化简，再求值：（﹣）+，其中a=2，b=．【答案】原式=，当a=2，b=时，原式=6．【解析】考点：分式的化简求值.13.先化简，再求值：2221()211a aa a a a+÷--+-，其中a是方程2230x x+-=的解.【答案】原式=21aa-, 由2230x x+-=，得11x=，232x=-又10a-≠∴32a=-．原式=23()9231012-=---．【解析】试题分析：先把分式化简后，再解方程确定a的值，最后代入求值即可.试题解析：原式=2(1)2(1)(1)(1)a a a aa a a+--÷--=2(1)(1)(1)1a a a aa a+-⋅-+=21aa-由2230x x+-=，得11x=，232x=-又10a-≠∴32a=-．∴原式=23()9231012-=---．考点：分式的化简求值；一元二次方程的解法.14.先化简，再求值：11133222-+⋅--÷+-aaaaaaaa，其中2016=a【答案】原式=1+a=2016+1=2017【解析】考点：分式的化简求值.15.解方程：23311xx x+-=--．【答案】x=0．【解析】试题分析：观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．试题解析：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得3x+3﹣x﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x﹣1）（x+1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．考点：解分式方程．16.某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？【答案】（1）100；（2）1190元．【解析】考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．17.我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．【答案】3.【解析】试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米．服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，根据题意：6.35.22424=-xx ， 解得：x=3，经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．答：学生步行的平均速度是每小时3千米．考点：分式方程的应用.18.某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．【答案】乙班的达标率为90%．【解析】考点：分式方程的应用.19.某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时种植多少棵树？【答案】原计划每小时种植50棵树．【解析】试题分析：设原计划每小时种植x 棵树，则实际劳动中每小时植树的数量是120%x 棵，根据“结果提前2小时完成任务”列出方程并求解．试题解析：设原计划每小时种植x 棵树，依题意得：2%120600600+=xx ， 解得x=50．经检验x=50是所列方程的根，并符合题意．答：原计划每小时种植50棵树．考点：分式方程的应用.。