2019-2020学年北京市延庆区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）以下是某中学初二年级的学生在学习了轴对称图形之后设计的．下面这四个图形中，不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（2分）若代数式21x -有意义，则x 的取值范围是( ) A ．12x ≠B ．12x …C ．12x …D ．12x ≠-3．（2分）一个不透明的盒子中装有3个白球、9个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是( ) A ．34 B ．13C ．14D ．234．（2分）下列事件中，属于必然事件的是( ) A ．任意掷一枚硬币，落地后正面朝上B ．小明妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签C ．随机打开电视机，正在播报新闻D ．地球绕着太阳转5．（2分）下列各式中，最简二次根式是( ) A ．27B ．52m nC ．12D ．66．（2分）下列运算结果正确的是( )A ．623a a a=B ．1a ba b-+=-- C ．11x x y y+=+D ．22236()b b a a=7．（2分）如图，数轴上A ，B ，C ，D 四点中，与3对应的点距离最近的是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．（2分）如图，D，E分别是AB，AC上的点，BE与CD交于点F，给出下列三个条件：①DBF ECF∠=∠；②BDF CEF∠=∠；③BD CE=．两两组合在一起，共有三种组合：（1）①②（2）①③（3）②③问能判定AB AC=的组合的是()A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）二、填空题（共8个小题，每题2分，共16分）9．（2分）要使分式21xx+-的值为0，则x的值为．10．（2分）如图，已知AC与BD交于点E，且AB CD=，请你再添加一个边或角的条件使ABC DCB∆≅∆，添加的条件是：．（添加一个即可）11．（2分）化简：a b a bb b+--=．12．（2分）如图，EC与DA交于点B，90ACB∠=︒，60A∠=︒，BD BE=，则DEB∠的度数是．13．（2分）为保障冬奥会测试赛顺利进行，北京市延庆区将在2019年年底前基本完成冬奥会有关建设任务，其中之一的内部场馆为圆形设计，面积为212(a b aπ，b均为正数）平方米，请你根据所学的知识计算出此场馆内部的半径为米．（用含有a，b的式子表示）14．（2分）如图，在ABC∆中，90A∠=︒，CD是ACB∠的平分线，DE垂直平分BC，若2DE=，则AB=．15．（2分）用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD 和一个小正方形EFGH ，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若10AB =，8AF =，则小正方形EFGH的面积为 ．16．（2分）对于任意实数a ，b ，我们规定：,4,4ba b a ba b a a b a b ⎧⎪⎪-=⎨⎪<⎪+⎩⊗…．根据上述规定解决下列问题：（1）计算：1()(1)2--=⊗ ．（2）若(3)(3)1x x -+=⊗，则x = ． 三、解答题（共68分）17．（5分）计算：0218(2)2|12|π+--+-． 18．（10分）计算： （1）1(3212)(27)2+-+． （2）(2332)(2332)-+．19．（5分）如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上，点A ，D 在l 异侧，AB DE =，//AB DE ，A D ∠=∠．求证：ABC DEF ∆≅∆．20．（5分）解方程：6133x x x +=-+ 21．（5分）先化简，再求值22221()(2)m n m mn n m mn m++-+-g ，其中1m n -=． 22．（5分）已知，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，连接AC ，BD ． （1）请补全图形，并说明AC ，BD 的位置关系； （2）证明（1）中的结论．23．（6分）小明与小志要到延庆冬奥综合训练馆参加滑冰训练，他们约定从德胜门出发自驾前往，但他们在选择路线时产生了分歧．根据导航提示小明选择方案1前往，小志选择方案2前往，由于方案1比方案2的路线长，而小明还想大家一起到达．已知小明的平均车速比小志的平均车速每小时快8千米，请你帮助小明算一算，他的平均车速为每小时多少千米，他们就可以同时到达？方案1:途径：京藏高速京礼高速全程85千米方案2:途径：京藏高速八达岭路全程75千米24．（6分）如图，已知30MAN ∠=︒，点B 在射线AM 上，且6AB =，点C 在射线AN 上． （1）若ABC ∆是直角三角形，求AC 的长；（2）若ABC ∆是等腰三角形，则满足条件的C 点有 个； （3）设BC x =，当ABC ∆唯一确定时，直接写出x 的取值范围．25．（4分）动手操作（尺规作图）已知：如图线段a ，线段b ，α∠．求作：ABC ∆，使得BC a =，ABC α∠=，ABC ∆的平分线BD b=．小园是这样思考的：先画一个草图进行分析，如图1所示，经过分析，小园发现了一个可以确定的三角形，确定这个三角形的依据是．这样基本上就算是完成尺规作图的分析了．请你用尺规作图法将小园没有做完的完成（在图2中完成即可）26．（3分）大家都玩过“石头、剪刀、布”的游戏吧？要求参与游戏的人同时做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，若手势相同，则不分胜负．如果两个人做这个游戏，随机出手一次，求两个人获胜的概率各是多少？27．（7分）如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BD AC⊥于点D，延长BD至E使BE AB=，连接AE并延长与BC的延长线交于点F．（1）补全图形；（2）若2∠=，求出AEBBACα∠的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明．28．（7分）规定：[]m 为不大于m 的最大整数； （1）填空：[3.2]= ，[ 4.8]-= ；（2）已知：动点C 在数轴上表示数a ，且2[]4a -剟，则a 的取值范围；（3）如图：1OB =，AB OB ⊥，且10AB =，动点D 在数轴上表示的数为t ，设AD BD n -=，且6[]7n 剟，求t 的取值范围．2019-2020学年北京市延庆区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）以下是某中学初二年级的学生在学习了轴对称图形之后设计的．下面这四个图形中，不是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图案，故此选项错误；B、是轴对称图案，故此选项错误；C、不是轴对称图案，故此选项正确；D、是轴对称图案，故此选项错误；故选：C．2．（221x-x的取值范围是()A．12x≠B．12x…C．12x…D．12x≠-【解答】解：根据题意得：210x-…，解得：12 x…．故选：B．3．（2分）一个不透明的盒子中装有3个白球、9个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是()A．34B．13C．14D．23【解答】解：Q一个不透明的盒子中装有3个白球，9个红球，∴球的总数3912=+=（个)，∴这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性93 124==．故选：A．4．（2分）下列事件中，属于必然事件的是() A．任意掷一枚硬币，落地后正面朝上B．小明妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签C．随机打开电视机，正在播报新闻D．地球绕着太阳转【解答】解：A、任意掷一枚硬币，落地后正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意；B、小明妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签是随机事件，故本选项不符合题意；C、随机打开电视机，正在播报新闻是随机事件，故本选项不符合题意；D、地球绕着太阳转是必然事件，故本选项符合题意；故选：D．5．（2分）下列各式中，最简二次根式是()A B C D【解答】=A不是最简二次根式；||n m=B不是最简二次根式；，C不是最简二次根式；D是最简二次根式；故选：D．6．（2分）下列运算结果正确的是()A．623aaa=B．1a ba b-+=--C．11x xy y+=+D．22236()b ba a=【解答】解：A、原式3a=，不符合题意；B、原式()1a ba b--==--，符合题意；C、原式不能约分，不符合题意；D、原式229ba=，不符合题意，故选：B．7．（2分）如图，数轴上A，B，C，D()A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【解答】解：Q 134<<，即132<<， ∴由数轴知，与3对应的点距离最近的是点D ．故选：D ．8．（2分）如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，BE 与CD 交于点F ，给出下列三个条件：①DBF ECF ∠=∠；②BDF CEF ∠=∠；③BD CE =．两两组合在一起，共有三种组合： （1）①②（2）①③（3）②③ 问能判定AB AC =的组合的是( )A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）【解答】解：能判定AB AC =的组合的是（2）（3），理由如下： （1）①DBF ECF ∠=∠；②BDF CEF ∠=∠， 不能证明ABE ACD ∆≅∆，没有相等的边； ∴不能判定AB AC =；（2）①DBF ECF ∠=∠；③BD CE =， 在BDF ∆和CEF ∆中，DBF ECFBFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDF CEF AAS ∴∆≅∆， BF CF ∴=，DF EF =， BE CD ∴=，在ABE ∆和ACD ∆中，DBF ECF A A BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACD AAS ∴∆≅∆， AB AC ∴=；（3）②BDF CEF ∠=∠；③BD CE =， 同（2）得：()BDF CEF AAS ∆≅∆，DBF ECF ∴∠=∠，BF CF =，DF EF =， BE CD ∴=，在ABE ∆和ACD ∆中，DBF ECF A A BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACD AAS ∴∆≅∆， AB AC ∴=； 故选：C ．二、填空题（共8个小题，每题2分，共16分） 9．（2分）要使分式21x x+-的值为0，则x 的值为 2- ． 【解答】解：由分式的值为零的条件得20x +=且10x -≠， 由20x +=，得2x =-， 故答案为2-．10．（2分）如图，已知AC 与BD 交于点E ，且AB CD =，请你再添加一个边或角的条件使ABC DCB ∆≅∆，添加的条件是： ()ABC DCB ∠=∠答案不唯一 ．（添加一个即可）【解答】解：添加的条件是ABC DCB ∠=∠， 理由是：Q 在ABC ∆和DCB ∆中 AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC DCB SAS ∴∆≅∆， 故答案为：ABC DCB ∠=∠． 11．（2分）化简：a b a bb b +--= 2 ． 【解答】解：原式22a b a b bb b+-+===， 故答案为：212．（2分）如图，EC 与DA 交于点B ，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，BD BE =，则DEB ∠的度数是 75︒ ．【解答】解：90ACB ∠=︒Q ，60A ∠=︒，30ABC DBE ∴∠=∠=︒，BE BD ∴=，1(18030)752DEB ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：75︒．13．（2分）为保障冬奥会测试赛顺利进行，北京市延庆区将在2019年年底前基本完成冬奥会有关建设任务，其中之一的内部场馆为圆形设计，面积为212(a b a π，b 均为正数）平方米，请你根据所学的知识计算出此场馆内部的半径为 23a b 米．（用含有a ，b 的式子表示） 【解答】解：22121223a b a b a b ππ÷==（米)． 故此场馆内部的半径为23a b 米． 故答案为：23a b ．14．（2分）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，CD 是ACB ∠的平分线，DE 垂直平分BC ，若2DE =，则AB = 6 ．【解答】解：CD Q 是ACB ∠的平分线，ACD BCD ∴∠=∠，DE Q 垂直平分BC ，BD CD ∴=， DCB B ∴∠=∠， 2ACB B ∴∠=∠， 90A ∠=︒Q ， 30B ∴∠=︒， 90DEB ∠=︒Q ，24BD CD DE ∴===，2AD DE ==， 6AB ∴=， 故答案为：6．15．（2分）用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD 和一个小正方形EFGH ，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若10AB =，8AF =，则小正方形EFGH的面积为 4 ．【解答】解：Rt ABF ∆中，10AB =，8AF =， 由勾股定理得：221086BF =-，862FG ∴=-=，∴小正方形EFGH 的面积224==，故答案为：4．16．（2分）对于任意实数a ，b ，我们规定：,4,4ba b a ba b a a b a b ⎧⎪⎪-=⎨⎪<⎪+⎩⊗…．根据上述规定解决下列问题：（1）计算：1()(1)2--=⊗ 1 ．（2）若(3)(3)1x x -+=⊗，则x = ．【解答】解：（1）由112->-，根据题中的新定义得：原式1114()12-==⨯-+； （2）由33x x -<+，根据题中的新定义化简得：314(3)3x x x -=-++，去分母得：359x x -=-， 解得：32x =， 经检验32x =是分式方程的解， 故答案为：（1）1；（2）32三、解答题（共68分）17．（50(2)|1π-． 【解答】0(2)|1π---121=+-2=-18．（10分）计算： （1）-． （2）+． 【解答】解：（1）原式2=-=； （2）原式1218=-6=-．19．（5分）如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上，点A ，D 在l 异侧，AB DE =，//AB DE ，A D ∠=∠．求证：ABC DEF ∆≅∆．【解答】证明：//AB DE Q （已知），ABC DEF ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）， 在ABC ∆和DEF ∆中 A D AB DEABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC DEF ASA ∴∆≅∆． 20．（5分）解方程：6133x x x +=-+ 【解答】解：方程两边乘(3)(3)x x -+， 得(3)6x x ++ 2(3)9x x -=-， 解得：1x =，检验：当1x = 时，(3)(3)0x x -+≠， 所以，原分式方程的解为1x =．21．（5分）先化简，再求值22221()(2)m n m mn n m mn m++-+-g ，其中1m n -=． 【解答】解：原式22[]()()()m n m nm n m m n m nm n +-=+---g23()()mm n m m n =--g3()m n =-，当1m n -=时，原式313=⨯=．22．（5分）已知，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，连接AC ，BD ． （1）请补全图形，并说明AC ，BD 的位置关系； （2）证明（1）中的结论．【解答】（1）解：补全图形，如图所示；AC BD⊥；（2）证明：在ABC∆和ADC∆中，AB AD CB CD AC AC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC ADC SSS∴∆≅∆，BAC DAC∴∠=∠，又AB AD=Q，AC BD∴⊥（等腰三角形三线合一）．23．（6分）小明与小志要到延庆冬奥综合训练馆参加滑冰训练，他们约定从德胜门出发自驾前往，但他们在选择路线时产生了分歧．根据导航提示小明选择方案1前往，小志选择方案2前往，由于方案1比方案2的路线长，而小明还想大家一起到达．已知小明的平均车速比小志的平均车速每小时快8千米，请你帮助小明算一算，他的平均车速为每小时多少千米，他们就可以同时到达？方案1:途径：京藏高速京礼高速全程85千米方案2:途径：京藏高速八达岭路全程75千米【解答】解：设小志的平均车速为每小时x千米，则小明的平均车速为每小时(8)x+千米．根据题意知，85758x x=+．解得60x=．经检验，60x =是原方程的解，且符合实际问题的意义．868x ∴+=答：小明的平均车速为每小时68千米．24．（6分）如图，已知30MAN ∠=︒，点B 在射线AM 上，且6AB =，点C 在射线AN 上． （1）若ABC ∆是直角三角形，求AC 的长；（2）若ABC ∆是等腰三角形，则满足条件的C 点有 3 个； （3）设BC x =，当ABC ∆唯一确定时，直接写出x 的取值范围．【解答】解：（1）当90ABC ∠=︒时，30A ∠=︒Q ， 12BC AC ∴=， ∴设BC x =，则2AC x =，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得22364x x +=， 解得23x =，23x =-． 43AC ∴=，当90ACB ∠=︒时，30A ∠=︒Q132BC AB ∴==， 33AC ∴=．（2）如图3，当AC BC =时，满足题意．如图4，当AC AB =时，满足题意．如图3，当AB BC =时，满足题意．故答案为：3．（3）当6BC …或3BC =时，ABC ∆唯一确定．x…．即3x=或625．（4分）动手操作（尺规作图）已知：如图线段a，线段b，α∠．求作：ABC∆的平∠=，ABC=，ABCα∆，使得BC a分线BD b=．小园是这样思考的：先画一个草图进行分析，如图1所示，经过分析，小园发现了一个可以确定的三角形∆，确定这个三角形的依据是．DBC这样基本上就算是完成尺规作图的分析了．请你用尺规作图法将小园没有做完的完成（在图2中完成即可）【解答】解：如图2Ⅳ所示：观察小园的分析可知：确定DBC∆，确定这个三角形的依据是SAS．故答案为DBC∆，SAS．26．（3分）大家都玩过“石头、剪刀、布”的游戏吧？要求参与游戏的人同时做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，若手势相同，则不分胜负．如果两个人做这个游戏，随机出手一次，求两个人获胜的概率各是多少？【解答】解：列表如下：游戏者石头剪刀布石头石头石头石头剪刀石头布剪刀剪刀石头剪刀剪刀剪刀布布布石头布剪刀布布从表中可以看出，两个人每次随机出手，每个人获胜的概率都是13．27．（7分）如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BD AC⊥于点D，延长BD至E使BE AB=，连接AE并延长与BC的延长线交于点F．（1）补全图形；（2）若2BACα∠=，求出AEB∠的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明．【解答】解：（1）如图所示：（2）45AEB α∠=︒+．理由如下：设BC 与直线l 交于点H ， Q 点B 与点C 关于直线l 对称，ABH ACH ∴∆≅∆，AB AC ∴=，12BAH CAH BAC α∠=∠=∠=，90BHA CHA ∴∠=∠=︒，BH HC =， BD AC ⊥Q ， 90BDA ∴∠=︒， 902ABE α∴∠=︒-，AB BE =Q ，1[180(902)]452AEB BAE αα∴∠=∠=︒-︒-=︒+；（3）线段EF 与BC 之间的数量关系：2BC EF =． 理由如下：如图，过点E 做EM BF ⊥于M ，90BME ∴∠=︒，90BHA CHA ∠=∠=︒Q （已证）， BME AHC ∴∠=∠，AB AC =Q （已证），AB BE =（已知）， AB AC BE ∴==，在BHO ∆和ADO ∆中，12∠=∠Q ，90BDA BHA ∠=∠=︒， HBO CAH α∴∠=∠=，Q 在AHC ∆和BME ∆中，HBO CAH BME AHC AC BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AHC BME AAS ∴∆≅∆，12ME HC BC ∴==， 45BEA α∠=︒+Q ，HBO α∠=， 45F ∴∠=︒，MEF ∴∆是等腰直角三角形，22ME ∴=， ∴122BC =， 2BC EF ∴=．28．（7分）规定：[]m 为不大于m 的最大整数；（1）填空：[3.2]= 3 ，[ 4.8]-= ；（2）已知：动点C 在数轴上表示数a ，且2[]4a -剟，则a 的取值范围；（3）如图：1OB =，AB OB ⊥，且10AB =，动点D 在数轴上表示的数为t ，设AD BD n -=，且6[]7n 剟，求t 的取值范围．【解答】解：（1）[3.2]3=，[ 4.8]5-=-． 故答案为3，5-．（2）2[]4a -Q 剟25a ∴-<…．（3）如图，当点D 在点B 的右边时，6[]7n Q 剟，68n ∴<…，当8n =22(1)10(1)8t t -+-=， 解得134t =， 当6n =22(1)10(1)8t t -+-=， 解得193t =， 观察图象可知，131943t <…． 当点D 在点B 的左边时，同法可得13544t -<-…， 综上所述，满足条件的t 的值为13544t -<-…或131943t <…．。