第六节 常用空间曲面一、曲面方程的概念在第四节中，我们已经知道了，在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示；反过来，一个三元一次方程的图形是一个平面。

在一般情况下，如果曲面S 与三元方程(,,)0F x y z = （1）有下述关系：（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）； （2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1） （1）就叫做曲面S 的方程，而那么方程曲面S 就叫做方程（1）的图形（图6-21）。

象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。

运用这个观点，我们来建立球面方程。

例1 若球心在点0000(,,)M x y z ，半径为R ，求该球面方程。

解：设(,,)M x y z 是球面上任一点，那么0M M R =又 0M M =故 2222000()()()x x y y z z R -+-+-= （2）这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以0000(,,)M x y z 为球心，R 为半径的球面方程。

如果球心在原点，那么0000x y z ===，从而球面方程为 2222x y z R ++=将（2）式展开得2222220000002220x y z x x y y z z x y z R ++---+++-=所以，球面方程具有下列两个特点：（1） 它是,,x y z 之间的二次方程，且方程中缺,,xy yz zx 项；（2） 222,,x y z 的系数相同且不为零。

现在我们要问，满足上述两个特点的方程，它的图形是否为球面呢？例2 方程22240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？ 解：配方，得222117(2)()24x y z -+++=所以所给方程为球面，球心为1(2,,0)2-，半径为2。

例3 方程2222230x y z x y z ++-+-+=是否表示球面？ x ,)0y z =解：配方，得22213(1)(1)()24x y z -+++-=-显然没有这样的实数,,x y z 能使上式成立，因而原方程不代表任何图形。

以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量,,x y z 间的方程通常表示一个曲面。

因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。

（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。

（2） 已知坐标,,x y z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。

例1是从已知点的轨迹建立曲面方程的例子，例2、例3是由已知,,x y z 间方程研究它所表示的曲面的形状的例子。

下面，作为基本问题（1）的例子，我们讨论旋转曲面；作为基本问题（2）的例子，我们讨论柱面和二次曲面。

二、旋转曲面一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面。

旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

设在y z O 坐标面上有一条已知曲线C ，它的方程为(,)0f y z =，曲线C 绕z 轴旋转一周，得到一个以z 轴为轴的旋转曲面（图6-22）设111(0,,)M y z 为曲线C 上一点，则有11(,)0f y z =（3）当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 随C 绕到另一点(,,)M x y z ，这时，1z z =且点M 到z 轴的距离为1d y ==将1z z =，1y =3）式，便得到()0f z = （4）这就是所求的旋转曲面的方程。

由此可知，在曲线C 的方程(,)0f y z =中将y 改成C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程。

同理，曲线C 绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为(,0f y = （5）例1 求y z O 坐标面上的抛物线22(0)y pz p =>绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程。

解：绕z 轴旋转所成的旋转曲面叫旋转抛物面（图6-23），它的方程为 222x y pz +=例5 将x z O 坐标面上的双曲线x22221x z a c -=分别绕z 轴和x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

解：绕z 轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为222221x y z a c +-=绕x 轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为222221x y z a c +-=例6 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。

两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角α（02πα<<）叫做圆锥面的半顶角。

试建立顶点在原点O ，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面的方程（图6-24）。

解：在y z O 坐标面上直线L 的方程为cot z y α=，因为旋转轴为z 轴，所以只要将方程中的y改成，便得到这圆锥面的方程z α=或 2222()z k x y =+ 其中cot k α=。

三、柱面设直线L 平行于某定直线并沿定曲线C 移动，则直线L 形成的轨迹叫做柱面。

定曲线C 叫做柱面的准线，直线L叫做柱面的母线。

我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。

这种柱面方程有什么特点呢？下面举例说明。

问方程222x y R +=表示什么曲面？在x y O 坐标面上，方程222x y R +=表示圆心在原点，半径为R 的圆。

在空间直角坐标系中，方程缺z ，这意味着不论空间中的点的竖坐标z 怎样，凡是横坐标x 和纵坐标y 满足这方程的点都在方程所表示的曲面S 上；反之，凡是点的横坐标x 和纵坐标y 不满足这图6-24图6-25个方程的，不论竖坐标z 怎样，这些点都不在曲面S 上，即点(,,)P x y z 在曲面S 上的充分必要条件是点(,,0)P x y '在圆222x y R +=上。

而(,,)P x y z 是在过点(,,0)P x y '且平行于z 轴的直线上，这就是说方程222x y R +=表示：由通过x y O 坐标面上的圆222x y R +=上的每一点且平行于z 轴（即垂直于x y O 坐标面）的直线所组成，即方程222x y R +=表示柱面，该柱面称为圆柱面（图6-25）。

一般地，如果方程中缺z ，即(,)0f x y =，类似于上面的讨论，可知它表示准线在x yO 坐标面上，母线平行于z 轴的柱面。

而方程(,)0,(,)0g y z h x z ==分别表示母线平行于x 轴和y 轴的柱面方程。

例如方程2y x =，方程中缺z ，所以它表示母线平行于z 轴的柱面，它的准线是x y O 面上的抛物线2y x =，该柱面叫做抛物柱面（图6-26）。

又例如，方程0x z -=表示母线平行于y 轴的柱面，其准线是x z O 面上的直线0x z -=，所以它是过y轴的平面（图6-27）。

四、二次曲面最简单的曲面是平面，它可以用一个三元一次方程来表示，所以平面也叫做一次曲面。

与平面解析几何中规定的二次曲线类似，我们把三元二次方程(,,)0F x y z =所表示的曲面称为二次曲面。

选取适当的空间直角坐标系，可得它们的标准方程，下面就二次曲面的标准方程来讨论二次曲面的形状。

（1） 椭圆锥面22222x y z a b +=此曲面，当0t =时得一以垂直于z 轴的平面z t =截点(0,0,0)；当0t ≠时，得平面z t =上的椭圆22221()()x y at bt +=当t 变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当t从大到小变为0时，这族曲线从大到小并缩为一点。

综合上述讨论，可得椭圆锥面（1）的形状（如图6-28）平面z t =与曲面(,,)0F x y z =的交线成为截痕。

通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法。

本节前面讨论过旋转曲面，我们还可以利用伸缩变形的方法，由已知的旋转曲面来得出二次曲面的大致形状。

先介绍伸缩变形法。

曲面(,,)0F x y z =沿y 轴方向伸缩λ倍，曲面(,,)0F x y z =的点111(,,)M x y z 变为点222(,,)M x y z '，其中1212121,,x x y y z zλ===，因为点M 在曲面图6-27图6-28(,,)0F x y z =上，所以有111(,,)0F x y z =，故2221(,,)0F x y z λ=。

例如将圆锥面2222x y z a +=的图形沿y 轴方向伸缩b a 倍，则圆锥面2222x y z a +=即变成椭圆锥面22222x y z a b +=。

（2）（3） 椭球面2222221x y z a b c ++=把x y O 面上的椭圆22221x y a b +=绕y 轴旋转，所得的曲面方程为222221x z y a b ++=，该曲面称为旋转椭球面。

再把旋转椭球面沿z 轴方向伸缩ca 便得椭球面（2）（图6-29）。

（3）双曲面单叶双曲面 2222221x y z a b c +-=2222221x y z --=把x z O 面上的双曲线22221x z a c -=绕z 轴旋转，得旋转单叶双曲面222221x y z a c +-=，把此旋转曲面沿y 轴方向伸缩ba 倍，即得单叶双曲面（如图6-30）。

类似的方法可得双叶双曲面（如图6-31）图6-30x（4）抛物面椭圆抛物面 2222x y z a b +=双曲抛物面（马鞍面）2222x y z a b -=把x z O 面上的的抛物线22x z a =绕z 轴旋转，得旋转抛物面222x y z a +=，把此旋转曲面沿y 轴方向伸缩ba ，即得椭圆抛物面（如图6-32）。

我们用截痕法来讨论双曲抛物面的形状（如图6-33）。

用平面x t =截此曲面，得截痕l 为平面x t =上的抛物线2222y t z b a -=-此抛物线开口向下，其顶点坐标为22,0,t x t y z a ===。

当t 变化时，l 的形状不变，只是位置平移，而l 的顶点的轨迹L 为平面0y =上的抛物线22x z a =。

还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面2222222221,1,x y x y y ax a b a b +=-==依次为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。

柱面的形状在前面已经讨论过，这里不再冗述。

习题6-61．建立以点(1,3,2)M --为球心，且过原点的球面方程。

2．将x y O 面上的抛物线24y x =分别绕x 轴，y 轴旋转，分别求出旋转后所得的曲面方程。

3．一动点与点(1,0,0)M 的距离为与平面4x =的距离的一半，试求其所生成的轨迹，并确定它为何种二次曲面。

4．说明下列二次曲面的名称，若它们是旋转曲面，那么，是怎样生成的？（1）2221499x y z ++=；（2）22214y x z -+=；（3）2221x y z --= （4）222z x y =+；（5）22z x y =+；（6）226z x y =--。