第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ．设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线．如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为)()()()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=--也可以写为010********)()()()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=---当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为)()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-．过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点)(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x如果空间的曲线C 由方程为)(),(x z z x y y ==且)(),(0'0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是)()()()(100000x z x z z x y x y y x x '-='-=-法平面方程为))()(())()(()(00'00'0=-+-+-x z z x z x y y x y x x如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交，由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(:z y x G z y x F c ，确定时，假设在),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂=Az y G F J ，在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数)(),(x z z x y y ==有)(),(0000x z z x y y ==，),(),(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ∂∂-=∂∂-=。

于是空间的曲线C 在 点),,(000z y x A 的切线是AA dx dz z z dx dy y y x x 0001-=-=- 即AAAy x G F z z x z G F y y z y G F x x ),(),(),(),(),(),(000∂∂-=∂∂-=∂∂-法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z y x G F y y x z G F x x z y G F AA A类似地，如果在点),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂Ay x G F 或0),(),(≠∂∂Ax z G F 时，我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式。

所以，当向量0}),(),(,),(),(,),(),({≠∂∂∂∂∂∂=AA A y x G F x z G F z y G F r ρ时，空间的曲线C 在),,(000z y x A 的切线的方向向量为r ρ例6.32 求曲线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()πb a ,0,-处的切线方程．解 当πθ=时，曲线过点()πb a ,0,-，曲线在此点的切线方向向量为{}{}b a b a a ,,0|,cos ,sin -=-=πθθθ，所以曲线的切线方程为bt z z a t y y t x x )()(0)(000-=--=-． 即 b b z a y a x π-=-=+0．二、空间曲面的切平面与法线 设曲面S 的一般方程为0),,(=z y x F取),,(0000z y x P 为曲面S 上一点，设),,(z y x F 在),,(0000z y x P 的某邻域内具有连续偏导数，且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x 。

设c 为曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(:t z z t y y t x x c 设)(),(),(000000t z z t y y t x x ===，我们有0))(),(),((=t z t y t x F上式对t 在0t t =求导得到0)(),,()(),,()(),,(0'0000'0000'000=++t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x因此，曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线c 在),,(0000z y x P 点的切线都和向量)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =ϖ垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为α，平面α就称为曲面S 在),,(0000z y x P 的切平面，向量n ρ称为法向量。

S 在),,(0000z y x P 的切平面方程是0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x过点),,(0000z y x P 且与切平面α垂直的直线称为曲面S 在),,(0000z y x P 点法线，它的方程为),,()(),,()(),,()(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 设曲面S 的方程为0),,(=z y x F若),,(z y x F 在S有连续偏导数且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ，则称S 是光滑曲面。

由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线。

若曲面S 的方程的表示形式为 ),(y x f z =，这时，容易得到S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法线方程为1)(),()(),()(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 我们知道，函数),(y x f z =在点),(00y x 可微，则由Taylor 公式知))()((0))(,())(,(),(),(202000000000y y x x y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-+-+-=-也就是说，函数),(y x f z =在点),(00y x 附近可以用S 在),,(0000z y x P 的切平面近似代替，误差为2020)()(y y x x -+-的高阶无穷小。

若曲面S 的方程表示为参数形式⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(:v u z z v u y y v u x x S 设),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===，),,(0000z y x P 为曲面上一点。

假设在),,(0000z y x P 有0),(),(0≠∂∂=P v u y x J ，在),,(0000z y x P 某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，在点),,(0000z y x P 附近能确定隐函数（即x 和y 的逆映射）),(),,(y x v v y x u u ==满足),(),,(000000y x v v y x u u ==。

于是，曲面S 可以表示为)),(),,((),(y x v y x u z y x f z ==由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，两边分别同时对y x ,求偏导得到),(),(),(),(),(),(,),(),(v u y x u xy vv u y x vxyuv u y x uyxvv u y x v yx u∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 故,),(),(),(),(),(),(),(),(v u y x v u x z v z u z f v u y x v u z y v z u z f y v y u y x v x u x ∂∂∂∂-=+=∂∂∂∂-=+=所以，S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为)(),(),()(),(),()(),(),(0),(0),(0),(000000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z v u y x y y v u x z x x v u z y v u v u v u 法线方程为),(0),(0),(0000000),(),(),(),(),(),(v u v u v u v u y x z z v u x z y y v u z y x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-例6.33 求曲面zxy z ln+=在点)1,1,1(的切平面和法线方程。

解 曲面方程为0ln ),,(=-+=z zxy z y x F ，易得}2,1,1{-=→n切面方程为0)1(2)1()1(=---+-z y x即02=-+z y x . 法线方程为211111--=-=-z y x习题6.61．求曲线t a z t a a y t a a x sin ,cos sin ,cos cos ===在点0t t =处的切线和法平面方程．2．求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线和法平面方程．3．求曲面xyz arctan=在点)4/,1,1(π的切平面和法线方程。