解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
xco t s
ysint
0t2
z1 3(62cot)s (2) 将第二方程变形为 (xa 2)2y2a42,故所求为
xa2a2cots
ya2sint
0t2
za 1212cAots
41
2、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为 求其在 xoy平面上的投影.
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
A
39
1、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
xx(t) yy(t) zz(t)
准线 xoy 面上的曲线 l1. 方G 程 (y,z)0表柱示 面,
x l1
母线 平行于 x 轴;
y zl 2 y
x
准线 yoz 面上的曲线 l2.
z
方H 程 (z,x)0表柱示 面, l3
母线 平行于 y 轴; x
准线 xoz 面上的曲线 l3A.
y
37
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆, 在不同的坐标系中应该注意。
一般在xoy面上的曲线，在空间直角坐标系中应该
表示为： F (x, y) 0 z 0
而 F(x,y)0 在空间坐标系中表示柱面。
例如：抛物柱面 z1x2
z
(0,0,1)
在xoz平面上的准线L3
L3
L3 :
z 1 x 2
y 0
Ax
y
38
三、几种常用的空间曲线
三元二次方程
A 2 x B 2 y C 2 z D E xy y Fxzx G H x I y z J 0
给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)0
z
若点 M 1 (0 ,y 1 ,z1 ) C ,则有 f(y1,z1)0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x,y,z)
C
M1(0,y1,z1)
M(x,y,z), 则有
o
y
zz1 , x2y2y 1
x
故旋转曲面方程为
f( x2y2,z)0
A
16
同理：当曲线 C:f(y,z)0
F(x,y,z)0 G(x,y,z)0
(1)
消去 z 得投影柱面 H (x ,y ) 0 , (2 )
满足（1）的数 x,y,z 中的 x, y 必满足（2）式。
这说明曲线C上所有点都在（2）
z
式所表示的曲面上。 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
y
H(x, y) 0
z 0
A
x C
42
2、空间曲线在坐标面上的投影
绕z轴旋转得旋转曲面方程:
x2 y2 a2
bz22
1
绕y轴旋转得旋转曲面方程:
x
y2 a2
x2b2z2
1
y
注:旋转曲面的重要特征是其两个变量的平方项系数相等.
A
18
例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
zyco t
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
A
20
二、柱面
z
引例. 分析方程 x2y2R2
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上， x2y2R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x,y,0),过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M(x,y,z)
l
的坐标也满足方程 x2y2R2
设空间曲线 C 的一般方程为
F(x,y,z)0 G(x,y,z)0
(1)
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
R(yx,z)0 0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
T(xy,
几种常用的二次曲面与空间曲线
一、旋转曲面 二、柱面 三、几种常用的空间曲线
A
1
一、旋转曲面
定义1. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
A
2
下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的
旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
z x2y2cot
令acot
两边平方
x
z2a2(x2y2)
M(0,y,z)
y
A
19
例5.
求坐标面
xoz
上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
分别绕
x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
cz22
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为
圆柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2y2R2 表示圆柱面
A
21
定义2. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
• y2 2x表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
称它为空间曲线的 参数方程.
z
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
o
x yz a a vtc si o ntts令t,bv
x
x a cos y a sin
y
z b
当2时 ,上升高度 h2b, 称为螺距 .
A
40
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2
y2
1
2x 3z 6
(2)zx2ay22xa2xy02
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程: f(y, x2z2)0
例1. 旋转抛物面
特点:母线C为抛物线,轴L为抛物线的对称轴。 z
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为: S: x2z22py
o y
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S: x2y22pz
za(x2y2)
问:此曲线若绕x轴旋转所得的是何图形?
A
0
y
17
例2: S: z1x2y2
z
(0,0,1)
其图形顶点在z轴上(0,0,1)处,
开口向下的旋转抛物面. 例3. 旋转椭球面
0
y
特点:母线C为椭圆,轴为椭圆的
对称轴. 例如:yoz面上的椭圆:
y2 a2
z2 b2
1
x z
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
yl
z
• xy0表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
A
o
x
y
x
o y
36
一般地,在三维空间曲面图形的方程中缺少一个变量,
此方程表示柱面方程.其图形平行于所缺变量对应的数轴. 方F 程 (x,y)0表柱示 面, z
母线 平行于 z 轴;