56
o
y
x
故旋转曲面方程为
f ( x 2 y 2 , z) 0
16
同理：当曲线 C : f ( y, z ) 0 绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程: f ( y , 例1. 旋转抛物面 例如:将yoz平面上的抛物线C:
x2 z2 ) 0
特点:母线C为抛物线,轴L为抛物线的对称轴。 z
几种常用的二次曲面与空间曲线
一、旋转曲面
二、柱面 三、几种常用的空间曲线
1
一、旋转曲面
定义1. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
轴 . 例如 :
2
下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的 旋转曲面. 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
z
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M ( x, y, z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
M ( x, y, z ) , 则有
z z1 , x 2 y 2 y1
(2) 将第二方程变形为
故所求为
41
2、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为
求其在 xoy 平面上的投影.
消去 z 得投影柱面
满足（1）的数
中的 x, y 必满足（2）式。 z 这说明曲线C上所有点都在（2） 式所表示的曲面上。
C
y
x, y , z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
x
思考: 对平面 y b
2
3
y
交线情况如何?
交线情况如何?
50
z
z
ay x
x 2 y 2 ax z0
ay x
x 2 z 2 a 2 y 0 ( x 0 , z 0)
51
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
52
2
2
2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 2 • 椭圆锥面: z a2 b2 53
( p, q 同号)
例2
x2 y2 z 2 1 (1) C : 2 2 2 x ( y 1 ) ( z 1 ) 1 (2)
求曲线C在xoy 面上的投影曲线方程。
（1）－（2）
2 y 2z 2 z 1 y (3)
2
z
（3）代入（1）整理得
C
o x
1 y
x 2 y 2 y 0 为投影柱面，
19
2
2
2
例5. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
分别绕 x
x2 y2 z 2 1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x x y z 2 1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
2
2
2
zБайду номын сангаас
y
20
H ( x, y ) 0 z0
x
C
42
2、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
R( y, z ) 0 x0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
T ( x, z ) 0 y0
43
绕z轴旋转得旋转曲面方程: x2 y2 z 2 2 1 2 a b 绕y轴旋转得旋转曲面方程:
例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L

M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
x y 0 表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
2
2
y
z
z 轴的椭圆柱面.
o
y
o x
36
y
x
一般地,在三维空间曲面图形的方程中缺少一个变量, 此方程表示柱面方程.其图形平行于所缺变量对应的数轴. z 方程 F ( x, y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线
• 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
55
2 x 2 y 和平面 x z 1 例4：求抛物柱面
的交线 三个坐标面的投影。 解：1. x 2 y 2 的母线 L//z轴，则它就是交线在 xoy平面的投影柱面， 因此交线在xoy面的投影曲线： x 2 y 2 它是xoy面上的一条抛物线。 C : z 0 2. 平面 x z 1 的母线 L//y轴，则它就是交线 在xoz平面的投影柱面， 因此交线在xoz面的投影曲线： x z 1 ( x 0) C : 它是xoz面上的一条射线。 y 0 2 2 2 y z 1 为交线关于yoz 消去 得 x x 2 y 2 3.由 2 y z 1 面的投影柱面 , 则 C : x z 1 它是yoz面上的一条抛物线. x 0
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G ( y, z ) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
x
l1
y
zl 2
y
x
z
l3
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
y
37
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,
z 2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为: 例如:将yoz平面上的抛物线C: y 2 pz 绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
2
o x
z
S : x z 2 py
2 2
y
S : x 2 y 2 2 pz z a( x 2 y 2 )
问:此曲线若绕x轴旋转所得的是何图形?
在不同的坐标系中应该注意。 一般在xoy面上的曲线，在空间直角坐标系中应该 表示为： F ( x, y ) 0
z 0 而 F ( x, y ) 0
在空间坐标系中表示柱面。
例如：抛物柱面
z 1 x2
2
在xoz平面上的准线L3
L3 :
(0,0,1)
z
y
z 1 x y0
46
展示空间图形
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
z
2
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
47
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
48
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
o
y
49
z
x2 y2 1 4 9 y3
x
o
y
45
例4
求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
x y z 1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z x 2 y 2 ,它与所给平面的
2 2 z x y 交线为 x y z 1 此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 x y x 2 y 2 1 z 0
二、柱面
引例. 分析方程
z
M
表示怎样的曲面 .
解:在 xoy 面上，
o C 表示圆C, M
在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点 M ( x, y, z ) 的坐标也满足方程 x 2 y 2 R 2
1
y
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为
2
C 在xoy 面上的投影曲线方程为
x 2 2 y 2 2 y 0 z0
44
例3
上半球面
和锥面
所围的立体在xoy 面上的投影
区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 .
z
二者交线 在 xoy 面上的投影曲线
z
C
x
o
1
y
所围圆域:
x 2 y 2 1, z 0 .
圆柱面.其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x 2 y 2 R 2 表示圆柱面
21
定义2. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.