作变换 z = e ，则区间 [0,2π ] 变为圆周 z = 1 ．
iθ
25. 解
cos θ =
1 1 dz ，于是……………………2 分 ( z + z −1 ) ， sin θ = ( z − z −1 ) ， dθ = 2 2i iz 1 dz 2 dz = ∫ −1 2 z + z iz i z =1 z + 2az + 1 a+ 2
20.只要 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析，那么 f ( z ) 在 D 内的积分必定与积分路径无关． （ ） 2 1 . 设 f 1 ( z ) 、 f 2 ( z ) 在 区 域 D 内 解 析 ， {z n } ⊂ D ， 且 f 1 ( z m ) = f 2 ( z m )
(m = 1,2,⋯⋯) ，则 f 1 ( z ) 与 f 2 ( z ) 在 D 内恒等．
三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分） 你认为正确的在题后括号内划“√” ，反之划“×” 17.函数 f ( z ) = z 在 z 平面上处处连续．
．
（
）
18.如果 u ( x, y ), v ( x, y ) 在区域 D 内都可导， 则函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 在 D 内可 导． 19.若 z 0 是 f ( z ) 的一个奇点， 则 f ( z ) 在 z 0 点不可导． （ （ ） ）
f ( z ) = − z = 1 > ϕ ( z ) …………………………………4 分
故由儒歇定理在 z < 1 内 f ( z ) = − z 与 f ( z ) + ϕ ( z ) = ϕ ( z ) − z 有相同多个零点，而
f ( z ) = − z 在 z < 1 内只有一个零点 z = 0 ，所以 ϕ ( z ) − z 在 z < 1 内也只有一个零点，不
=
=
z −1 ∞ ⎛ z −1⎞ (−1) n ⎜ ⎟ ∑ 4 n =0 ⎝ 2 ⎠
2n
+
1 ∞ ⎛ z −1⎞ (−1) n ⎜ ⎟ ∑ 4 n =0 ⎝ 2 ⎠
2n
=∑
(−1) n (z − 1)2 n +1 + (z − 1)2 n ……………………6 分 n +1 n =0 4
∞
[
]
由
z −1 < 1 知收敛范围为 z − 1 < 2 ． ……………………7 分 2
∫
2π
0
dθ = a + cos θ ∫ z =1
=
2 dz ………………4 分 ∫ i z =1 [ z − (− a + a 2 − 1)] ⋅ [ z − (− a − a 2 − 1)]
但由于条件 a > 1 ， a 2 − 1 ， z 2 = −a − a 2 − 1 ；
被积函数有两个一阶极点 z1 = − a + 可知只有点 z = − a +
1 −1 0
∴
∫
−1
z dz = ∫ x dz …………………………………………4 分
= ∫ (− x)dx + ∫ xdx ……………………6 分
−1 0 1
=
23. 解
1 1 + = 1 ……………………7 分 2 2
2
∵ f ( z ) = 2 z − z + 1 在全 z 平面上解析……………………2 分
(
)
……………………6 分
z =1
= 2π i( 4 z − 1) z =1 = 6π i ……………………7 分
24. 解
z z −1+1 = z − 2 z + 5 ( z − 1) 2 + 4
2
=
z −1 1 ……………………2 分 + 2 ( z − 1) + 4 ( z − 1) 2 + 4 z −1 1 1 1 ……………………4 分 ⋅ + z −1 2 4 4 z −1 2 ( ) +1 ( ) +1 2 2
∴ f ( z ) = 2 z 2 − z + 1 在圆域 z < 2 内解析，在 z ≤ 2 上连续， z = 1 是 z < 2 内一点， 由导数公式……………………………………………………………4 分
2π i ′ 2z 2 − z + 1 2 ∫C (z − 1)2 dz = 1! 2 z − z + 1
∫
2π
0
dθ a + cos θ
(a > 1) ．
26. 求将上半 z 平面 Im z > 0 共形变换成单位圆 ω < 1 的线性变换 ω = L( z ) ，使合条 件
L(i ) = 0 ， arg L ′(i ) =
π ． 2
五、证明题
（其中 27 题 7 分，28、29 每小题 8 分，共 23 分）
（
）
四、计算题
（每小题 7 分，共 35 分）
22.计算积分
∫
1
−1
z dz ，积分路径是直线段．
23. 计算积分
2z 2 − z + 1 ∫C ( z − 1) 2 dz ， C : z = 2 ．
24.将函数
z 按 z − 1 的幂展开，并指明其收敛范围． z − 2z + 5
2
25.计算积分
sin
∞
7.幂级数
∑n
n =1
n
z n 的收敛半径为
B.0 C.
（
）
A.１
3
1 2
D.３ （ D.４ （ B. Lim f ( z ) = b （有限数）
z →a
8.函数 sin z 在零点 z = 0 的阶数是 A.１ B.２ C.３
）
9. a 为 f ( z ) 的可去奇点，则 A. Lim f ( z ) = ∞
2
a2 −1
……………………7 分
26. 解
将上半平面 Im z > 0 变成单位圆 ω < 1 ，并将上半 z 平面上一点 i 变为圆心
ω = 0 的线性变换为
ω = e iβ
z −i ， …………………………………………3 分 z +i
又由 L ′(i ) > 0 知 β = arg L ′(i ) + 故所求线性变换为 ω = − 五、证明题
a 2 − 1 在 z = 1 内且
1 =
z = − a + a −1
2
Re s
2π
z = − a + a −1
2
f ( z) =
1 2 a2 −1
2π
z − ( − a − a 2 − 1)
Re s
z =− a +
……………………6 分
∴
∫
0
dθ 2 = 2πi ⋅ a + cos θ i
1 = a 2 −1 z + 2 az + 1
7 4
B.
ϕ ′( z ) ψ ( z)
C.
ϕ ( z) ψ ′( z )
D.
ϕ ′( z ) ψ ′( z )
（ ）
11.方程 z − 5 z − 2 z + 1 = 0 在单位圆 z < 1 内根的个数为 A.１ B.３ C.4 D.７
12. 2 + i 关于单位圆周 z = 1 的对称点是 A. 2 − i 二、填空题 B. − 2 − i （每小题 2 分，共 8 分） C.
复变函数
试卷三
（供数学教育专业使用）
一、单项选择题 （每小题 2 分，共 24 分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 并将其前面的代码写在题干后面的括号 内．不选、错选或多选者，该题无分． 1. Arg ( 2 + 2i ) = A. ． （ ）
π 4 π（ k 为整数） 4 π D. − + 2kπ （ k 为整数） 4
1 在全 z 平面上解析，即为整函数，并且有 f ( z)
1 1 1 = < …………………………………………6 分 f ( z) f ( z) a
即
1 1 是有界的整函数，有刘维尔定理知，函数 为常数，从而知 f ( z ) 也必为常 f ( z) f ( z)
数． …………………………………………8 分 29. 证明 令 f ( z ) = − z ，则 f ( z ) 在 C : z = 1 内部解析，且连续到 C ，且连续到 C ， 又在 C 上…………………………………………2 分
2 2
27.判断函数 f ( z ) = xy + ix y 在 z 平面上的可微性和解析性．
28.设 f ( z ) 在 z 平面上解析，且 f ( z ) 恒大于一正的常数，试证 f ( z ) 必为常数．
29.设 ϕ ( z ) 在 C : z = 1 内部解析，且连续到 C ，在 C 上 ϕ ( z ) < 1 ，试证：在 C 内部只 有一个点 z 0 ，使 ϕ ( z 0 ) = z 0 ．
z →a
）
C. Lim f ( z ) 不存在
z→a
D.以上均不正确
10.已知 ϕ ( z ) 及ψ ( z ) 都在点 a 解析， 且 ϕ ( a ) ≠ 0 ，ψ ( a ) = 0 ，ψ ′( a ) ≠ 0 ， 则 Re s
z →a
ϕ ( z) ψ ( z)
）
等于 A.
（
ϕ ( z) ψ ( z)
． ( z ∈ D, n = 1,2,3, ⋯⋯)