F θ
s
对非零向量a与b，定义| b | cosθ叫向量b
在a 方向上的投影．
| a | cosθ叫 向量a在b 方向上的投影．
数量积的几何意义
作 O Aa ， O Bb，过点B作BB1直线OA
则 O B 1 的数量是| b | cosθ （不是向量）
B
B
B
b
b
b
O
B1 a A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
向量的数量积运算类似于多项式运算
例 2.已 知 |a|6,|b|4,a与 b夹 角 为 60, 求 ： (1)(a2b)(a3b)
(2)a2b|.
解 ： （ 1） .(a2b)(a3b)a2ab6b2
a2abcos6b272
2
2
(2 )a 2 ba 4 a b 4 b 23 7
例 3.已 知 |a|3,|b|4,且 a与 b不 共 线 . k为 何 值 时 ,(akb)(akb)？
a b a b c o s 2 2 c o s 4 5 0 2
单a位b 设 向| aa量、 | | ，b b| 是c 是 o s 非a 与 零( 1 向e)e 的量a 夹，e 角是 a ，e 则与 b| a 方 |向c相o 同的s
(2 )a b ab 0判断垂直的又一条
(√ )
结合律： (ab)c=a(bc)
(ab)ca(bc) (×)
(a)b(ab)a(b)(√ )
分配律： (a+b)c=ab+bc (ab)cacbc ( √ )
消去律: ab=bc(b≠0) a=c
× abbc(b0) ac( )
数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数 ，则:
(1)ab b a;
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）·（a-kb）=0
即a2-k2b2=0
9-16 k 2 =0
所以，k= 3
4
例4、
(2009·海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在 △ABC所在平面内，且 OAOBOC,N A N B N C 0 ,
P A P B P B P C P C P A ,则 点 O ,N ,P 依 次 是 A B C 的 （ C ）
5 . 0 时 ， (a ) b 与 b 的 方 向 相 同 .×
B1 O a A
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
O aA
θ为直角时， | b | cosθ=0
a ·b的几何意义：数量积a ·b等于a的长度 |a|与b在a的方向上投影|b|cos的乘积。
数量积的运算律
回顾实数运算中有关的运算律，类比数量
积得运算律:
在实数中
在向量运算中
交换律: ab=ba
abba
(2)(a)b(ab) a(b)
(3)ab)c acbc
证明运算律(3)
向量a、b、a + b
a
b
在c上的射影的数量分 别是OM、MN、 ON,
a+b
OM
Nc
则： (a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
典型例题
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为 ，我们把数量 |a||b|cos叫做a 与
b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ababcos
注 （1）两向量的数量积是一个数量，
意 （2） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能省.
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时 a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时 a·b为负。 当θ =90°时 a·b为零。
例题讲解
例1．已知 a =5， b =4，a 与 b 的夹角 120 ，求 a b . 答案：10
A．重心、外心、垂心 C．外心、重心、垂心
B．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
知识回顾:
夹角的范围
数量积
0
a b |a ||b |c os
性质 运算律
或 a·a|=a||a|2
（简写
aa
a2
=
|a|2）
(1) a · b= b ·a(交 换律)
(2) (a ) b a (b ) ( a b )
例1.已知向量a，b,求证下列各式
（1）(ab)2
2
a
2
2abb
22
(2)(ab)(ab)a b
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2.
2.4.1 平面向量数量积 物理背景及其含义
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
A
A
B
O
B
B
b
Oa A
情景引入 一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
bB
(3 )当 a 与 b 同向 a b |a 时 |b ||件;
Oθ
A
B1 a
当 a 与 b 反向 a b 时 |a |b ||， ;
求 角
特别地
(4)cos
aa|a|2
ab | a||b|
或 |a|
aa
a2求模的方法
(5 )|ab| |a||b|
数量积的几何意义
物理上力所做的功实际上是将力正交分解， 只有在位移方向上的力做功．
变式:如图的菱形ABCD中，角A等于6 0 ，
AB=2,求下列各数量积.
B
ABAD,ABBC,ABCD
A
C
ABDC,BABC,ACBD.
答 案 ： 2 ； 2 ； - 4 ; 4 已知 a =(1,1), b =(2,0),求 a b。
解：a 2 , b2,450
(3) (a＋b) ·c = a·c＋b·c (分配律)
巩固练习 1.已知向量 a , b , c 和实数
判断正误，并说理. 1．若 a b0，则 a , b 中至少有一个为0 ．×
2. 若b≠0，a·b＝c·b ，则a=c× 3. (a·b)c=a(b·c) ×
4. 对任意向量 a 有a2 | a |2 √