因为a•b=│a││b│COSθ
所以│a•b│ =│a││b││COSθ│
又│COSθ│ 1 所以│ a•b │ │a││b│
思考：在什么情况下取等号？ 0或 180
返回练习
反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
2019/8/16
6、课时作业：
a•b=│a││b│COSθ
1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q 24
2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－54 2 ，求a和b的夹角
3、已知 ABC 中，AB＝a，AC＝b
135
当a•b<0时，ABC 是＿钝角＿＿三角形；
°
当a•b=0时，ABC 是＿直角＿＿三角形
2.4.1平面向量的数量积
向量的夹角
已
知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，
作 OA=a,OB=b,则AOB (0 180 ) 叫做向量a与b的夹角
当 0 时，a与b ＿同＿向；
当 180 时，a与b＿反＿向；
当 90 时，a与b＿垂＿直，记作a b
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a 0，且a•b= a•c ，则b=c
（ √）
（ ×）
5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
数），当θ为锐角时， 0 时│b│COSθ＝＿│＿b│
它是正值；当θ为Biblioteka 角时，它是负值。 180 时│b│COSθ＝－＿│＿b│
向 量 吗
a•b=│a││b│COSθ
2、向量数量积的几何意义
a•b的几何意义： 数量积a•b等于a的长度│a│与b在a
的方向上的投影│b│COSθ的积
OB＝ │b│COSθ
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
的夹角，尤其是判定垂直
（5）五条基本性质要掌握
8、作业布置 《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=│a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
60
A
B
120
进行向量数
量积计算时,
既要考虑向
量的模,又
3. AB与AD的夹角是60,
AB与DA的夹角是120
要根据两个 向量方向确 定其夹角
AB DA AB DA cos120 4 3 1 6 2
SUCCESS
THANK YOU
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
32 0
3 2
5、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
7、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
记作 a b 即 a b a b cos 并规定 0 a 0
思考1：向量的数量积运算与向量的线性运算结果 有什么区别？
向量线性运算的结果还是向量，但向量的数量积结 果是一个数量（实数）。 （这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）
思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，
如图,在平行四边形ABCD 中，AB 4, AD 3,
D
DAB 60,求 : 1.AD BC
2.ABCD 3.AB AD
60
A
C B
解: 1因为AD与BC平行且方向相同,
AD与BC的夹角为0.
AD BC AD BC cos 0 3 31 9
2
或AD BC AD 9
例题 2.ABCD 3.AB DA a•b=│a││b│COSθ
D
C
2. AB与CD平行,且方向相反
AB与CD的夹角是180
ABCD AB CD cos180
4 4 1 16
2
或ABCD AB 16
当a与b异向时，a•b=_-_│_a_│__│__b_│__
a•a=__a__2____= a2
(4) │ a•b │___ │a││b│
(5)cos ＝ a b
__a_b___
性质4
4、反馈练习:判断正误
a•b=│a││b│COSθ
（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （ √ ）
（2）若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0
时 a•b=0
返回练习
谢谢大家！
反馈练习（6）
a•b=│a││b│COSθ
× 若a 0，且a•b= a•c ，则b= c( ) b
b
θa
O
B
3、向量数量积的性质 a•b=│a││b│COSθ
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e•a=_│_a_│__C_O_S_θ__;a•e=│__a_│__C_O_Sθ__ e•a=a•e
(2)a b_ ___a•b=0
=│a│COSθ
(3)当a与b同向时，a•b=│__a_│__│_b_│_
问题情境
F θ
F
θ S
O
位移S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所
做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
F是_矢__量，S是_矢__量，W是_标__量，
1、数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们 把数量 a b cos 叫做向量a与b的数量积（或内积）
并说明它的几何意义是什么？
B
B
B
b
B1
O （1）a A
b

B1（2）O a A
b

O (B1（) 3）a A
过b的终点B作OA＝a的垂线段BB1 ，垂足为
角三角形的性质得 OB1 =│b│COSθ
B1
，则由直 投
│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。
影
投影是一个数值（实 90时 │b│COSθ＝＿0＿ 是