（2）比较
a

b
与a
b
么结论？
的大小，你有什
2、数量积的性质
设向量 a
与

b 都是非零向量，则
（1） a⊥b

a ·b=0
（2）当 a 当a
与

b
同向时，a
与

b
反向时，a
··bb==|-a||a||b||b
|
特别a地，a · a 2 =︱︱a 或︱︱=
学生练习
1((、 12))若若判aa断下00，，列则a各对b命任题a一是c非,则否正零b确向 c， 量b并，说有明 a b理 由0
或 2、a已 b知0A时B，C中试，判 AB断aA,BACC的形b,状 当。 a b 0
活动六、课堂小结与布置作业
四、教学媒体设计
１、高效实用的电脑多媒体课件
２、科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义
一、数量积的概念
二、数量积的性质
１、概念：
２、概念强调：（1）记法
（2）“规定” 三、数量积的运算律 3、几何意义：
4、物理意义：
四、应用与提高 例1：
例2：
例3：
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/16
其中θ 是 a 与 b 的夹角，| b | cos (| a | cos ) 叫做向量 b 在 a
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即
B
a

0

0
。
| OB1 || b | cos
b
θ O
aA
B1
2（、1数）量定积义的：定a 义 b

a
1、本节课我们学习的主要内容是什么？ 2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？ 3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归 纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中， 渗透了哪些数学思想？ 4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研 究数量积？
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作业: 课本P121习题2.4A组1、2、3。
拓垂展直已与，知提aa高与4：bb与都7是a 非2零b向垂量直，，且求a a与3bb与的7a夹角5b。
（3）︱a

·b
︱≤|a

|b |
|
aa
3、性质的证明
探究数量积的运算律
1、运算律的发现
问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？
这些 运算律对向量是否也适用？ 学生可能的回答:
① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
2、运算律
已知量
向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；
③0－
AB ＝ BA
④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0； ⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ) ·c= ａ·(ｂ ·c)
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
b
c os
（2）定义的简单说明：
问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
a夹 角b的 的范正围负0 90 90 90 180
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
θ是
。
S
探究数量积的含义
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
二、平面向量的数量积
1、定义
已知非零向量 a 与 b，我们把数量 | a || b | cos 叫作 a与 b 的
数量积（或内积），记作 a b ，即规定
a b | a || b | cos
2.4.1《平面向量数量积 的物理背景及其含义》
教学目标
• 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； • 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； • 3.平面向量的数量积简单应用； • 4.掌握向量垂直的条件. • 教学重点：平面向量的数量积定义 • 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的
理解和平面向量数量积的应用
一 探究？
问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？
问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产 生位移S，
（１）力F所做的功W=
。
（２）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是
量，
F
F（力）是
量，
S（位移）是 量
a,
b,
c

和实数λ，则：
((12))aabb
b
a
a

b
a

b
(3)
a

b
c

a

c

b

c
3、运算律的证明
应用与提高
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b.
例2、已知a
S G
WGS
③、竖直向上提升10米；
S
W G S
G
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
G
W G S cos(180 30)
SUCCESS
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探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题８：
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，
你能得到哪些结论？
4、研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
S
①、在水平面上位移为10米；
G
W 0
②、竖直下降10米；
6，b

4，a与b的夹角为60，求
a

2b

a

3b
.
？
例3、已知
a

3 ，b

4，a与b不共线， k为何值时，
向量a

kb与a

kb 互相垂直？
三、例题赏析：
例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，