3）子系统D○-1 将加法变换到运算○，即 同态 滤波 系统
□和○皆为加法 □和○皆为乘积 □和○皆为卷积
1 1 1 ˆ2 (n) ˆ2 (n)] D ˆ1 (n) y ˆ1 (n)] D ˆ2 (n)] y ˆ1 (n) y D [y [y [y
“同态系统”——从代数上讲，同态 系统一名是根据输入和输出的矢量空 乘积同态系统 间之间的同态（亦即线性）映射的定 义提出的。同态变换就是输入与输出 卷积同态系统 这两个信号矢量空间之间的变换。
ˆ2 ( n) ˆ1 (n) x D [ x1 (n) x2 (n)] D [ x1 (n)] D [ x2 (n)] x
2）线性系统L 满足线性叠加原理
ˆ2 (n) ˆ1 (n) y ˆ1 (n)] L[ x ˆ2 (n)] y ˆ2 (n)] L[ x ˆ1 (n) x L[ x
ˆ (n) 在时域上的加权。如 卷积同态系统中线性系统L的作用：完成复时谱 x ˆ (n) 应为： 果令l(n)表示其加权函数，线性系统的输出序列 y
ˆ (n) l (n) x ˆ (n) y
式两边取Z变换
ˆ ( z) L( z) X ˆ ( z) Y
ˆ (e j ) 的周期性卷积。L(e j )是非频变线性系统的 ˆ (e j ) 等于 L(e j ) 和 X 即Y 冲激响应。 ˆ (n) 都是实的稳定序列，实际上也能满足这一 ˆ (n) 、y(n)、y 通常限定x(n)、x 要求。因此，l(n)也应是实序列，通常也应是稳定的。这意味着 L(z)的收敛域 包括单位圆，L(ejω)的实部和虚部分别是的偶函数和奇函数。
ˆ (e j ) L(e j ) X ˆ (e j ) 或Y
第九章 同态滤波与时谱技术
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几种典型的线性非频变系统的l(n)曲线如下图。它们分别具有“短通”“长 通”和“梳状”型复时谱滤波特性。
短通型 长通型
梳状型
3、逆特征系统D*-1
逆特征系统完成特征系统D*的逆运算，根据定义，有
▲ 典型的同态滤波系统
输入信号分量 彼此组合的运 算规则 ( 加法、 乘法、卷积) 子系统D□ 线性系统 L
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子系统DO-1 输出信 号彼此 组合的 运算
系统由三个子系统组合而成
按规则□的组合，变换成信号D□[x1(n)]和D□[x2(n)]的一般线性组合，即
1）子系统D□ D□是遵从广义叠加原理的一种运算，它把输入信号x1(n)和x2(n)
冲▲ 设s(n)为因果性、实的指数衰减序列：
0 s ( n) n a
n0 a 1, n 0
Z 变换
S ( z) Z[s(n)] 1 (1 az 1),
za
n a n ˆ ( z ) ln[S ( z)] ln(1 az 1 ) S z n 1 n
第九章 同态滤波与时谱技术 2、线性系统L
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线性系统L的选择：依据信号的复时谱的特性及滤波处理要求而定。实际上， 包含在信号的复时谱内的各个分量往往有显著的差异，它们沿时间轴(n)的分 布是不完全重叠的。这就为线性系统提供了有效滤波的可能性。
卷积同态系统中线性系统L的特殊性：用Z变换或傅氏变换将卷积同态系统转 换为乘积同态系统，它的线性系统不是在离散时域，而是在连续频域（或离散 频域）作周期性卷积运算。
] (1)
k 1

k 1
k
k
z kn0
n0 0, k ˆ Z变换的复时谱：p(n) k 1 1 k (n kn0 ), n 0 k 1
它在 n=kn0处呈现正、负 相间的尖峰[图(e)]
第九章 同态滤波与时谱技术
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ˆ(n) D[c : x(n)] cD[ x(n)] cx
x (k ) x (n k )
1 2
第九章 同态滤波与时谱技术
特征系统D*的运算过程:
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x1 (n) x2 (n)
Z变换
X ( z ) X1 ( z ) X 2 ( z )
用相乘同态系统处理
Z 变换运算可看成以卷积作输入运 算和以相乘作输出运算的同态变换
0 ˆ ˆ(n) Z [ S ( z )] n s a n
1
n0 n0
▲ 对于干扰回声，冲激响应p(n)的Z变换、变换的复对数、复时谱分别为 p(n)的Z变换： P( z ) 1 z
n0
n0
ˆ ( z ) ln[ P( z)] ln[1 z Z变换的复对数: P
▲ 本章内容：介绍同态处理的基本概念以及对乘积性和卷积性信号的同态 滤波的方法和应用。
第一节
同态滤波系统
滤波 结果
用特征系统的逆 系统进行变换
线性滤波 按 某 种 运 算 具有某种变换特 性的特征系统 方法处理 规则 ( 乘法或 叠加性 卷积 ) 混杂在 信号 一起的信号
原始 信号
第九章 同态滤波与时谱技术
ˆ ( z ) ln[ X ( z )] X ln[ X1 ( z )] ln[ X 2 ( z )]
逆Z变换
相乘同态系统。由于 X(z)通常 是复数，故必须采用复对数
ˆ1 (n) x ˆ2 ( n) ˆ ( n) x x
ˆ1 (n) 和 x ˆ2 (n) 分别为ln[X1(z)]和ln[X2(z)]的逆Z变换。可见，特征系统D*的作 x 用在于，同态系统的输入端实现时域上的由卷积至相加运算的同态变换，以 便和后面的线性系统匹配。 ˆ (n) 称为实信号x(n)的复时谱。x ˆ2 (n)分别称为x1(n)和x2(n)的复时谱， ˆ1 (n) 和 x x ˆ (n) 应是实序列，而且，更 它们都是信号x(n)的复时谱分量。从工程的观点，x ˆ (n) 是对x(n)顺次作三 重要的是，它和实信号序列x(n)应是唯一的对应。既然 x 次变换(Z变换、复对数和逆Z变换)后回到时域(n)的映射，那么必须避免在取 复对数时可能出现的模糊性（复变函数的对数是多值函数）。
取复对数，并按幂级数展开
第九章 同态滤波与时谱技术
它仍然是一个 因果性、实的 衰减序列，衰 减速度为原序 列s(n)的n倍
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n a n ˆ ( z ) ln[S ( z)] ln(1 az 1 ) S z n 1 n
观察z-n项的系数，得到其逆变换s(n)的复时谱
ˆ (n) 将是两个复时谱 ▲ 在特征系统中对信号x(n)作同态变换后，其复时谱 x ˆ ( z ) 之和[图(f)]。如果同态滤波系统的目的是要剔除回声干扰， ˆ( n) 与 p 分量 s ˆ ( n) 分 恢复主波s(n)，就应当选择线性系统L的加权函数l(n)具有梳状型.它把 p ˆ(n) 时谱滤波输出为： 布在n=kn0处的分量滤除，保留 s
第九章 同态滤波与时谱技术 二、解卷积同态滤波在去混响中的应用
设复合信号x(n)为
主波 回 声 波 βs(n-n0) ， β 为 衰减系数，为实数 主波
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剔除回声干扰的解 卷积同态滤波分析
x(n) s(n) s(n n0 )
x(n) s(n) p(n)
s(n) [ (n) (n n0 )]
自然对数
ln[ x1 (n)] [ x2 (n)] ln[ x1 (n)] ln[ x2 (n)]
复信号的情况：复信号要求特征系统取复对数，以适应更一般的情况。因 此，以相乘作为输入和输出运算的同态滤波系统的一般规范形式如下图。
复数量
复数量
复数量
复数量
一般，当处理实正信号序列时，特征系统运算只要满足式(9-6)就可以了。因 此，特征系统的输出，并加至线性系统的信号将是：
ˆ (n) 也必然是稳定的序列。这 ˆ (n) 是稳定的，因此y(n)和 y 由于认定x(n)和 x ˆ ( z) 的收敛域必定包括单位圆，而有 样，Y(z)和 Y
D1{D[ x(n)]} x(n)
y(n) Z 1[Y ( z)]
ˆ ( z)] 以及 Y ( z) exp[Y
注意：在卷积同态滤波处理中，无论是将信号用Z变换表示，或仍用时序上 的序列表示，都将遇到对复量X(z)取复对数的问题，于是都有可能出现模糊性。 因而在应用中必须设法避免在取复对数时出现模糊性的可能性。
ˆ ( n) x ˆ2 ( n) ˆ1 (n) x x ˆ2 (n) ln[ x2 (n)] ˆ1 (n) ln[ x1 (n)] x 其中 x
同样，对于这类系统的线性滤波部分(冲激响应)也应是实的，并根据x1(n)和 x2(n)的特性以及滤波要求适当选择。例如，若需分离各分量或对各分量作独 ˆ1 (n) 和 x x ˆ2 n 的频谱不得有严重的重叠，即只有当 立的处理，其前提条件是， 一个分量变化快，而另一个分量相对化缓慢时，相乘性同态滤波才有效。
x(n) [ x1 (n)] [ x2 (n)]


匹配于这种相乘性信号的特征系统D□应具有以下特性：
D {[ x1 (n)] [ x2 (n)] } D [ x1 (n)] D [ x2 (n)]
式(9-6)
第九章 同态滤波与时谱技术
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▲ 对数运算 若x1(n)和x2(n)为实的正序列，对于任意实际标量α和β，有
ˆ1 (n)] x1 (n) y n D1[ x
再使D○-1=D□-1
第二节
解乘积同态系统
什么运算 具有这样 的特性？
输入信号特征：两个或多个分量相乘。【例】在有衰减的传输信道中，可 以把衰减效应看作是一个缓变分量与被传输信号的相乘；调幅信号为载波信 号与调制信号（包络）的乘积等。 输入信号的一般形式：