l/3 O 2l/3
V0 V0/2
3V0 ω= 2l
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6. 长为 的匀质细棒，一端悬于 点，自 长为L的匀质细棒 一端悬于O点 的匀质细棒， 由下垂， 紧接O点悬一单摆 点悬一单摆， 由下垂 ， 紧接 点悬一单摆 ， 轻质摆绳的 长为L，摆球的质量为m， 长为 ，摆球的质量为 ，单摆从水平位置 由静止开始自由下摆， 由静止开始自由下摆 ， 与细杆作完全弹性 碰撞，碰后单摆停止。 细杆的质量； 碰撞，碰后单摆停止。求：(1) 细杆的质量； (2) 细杆摆动的最大 m 角度θ。 角度 。 O
l/3 O 2l/3
V0 V0/2
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第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
解：整个系统角动量守恒
v 的正方向⊙ L 的正方向⊙
mV0 2l / 3 = Jω − mV0 / 2 ⋅ 2l / 3
2l 2 l 2 2 2 J = m( ) + 2m( ) = ml 3 3 3
v mg
a = rβ1 = Rβ 2
T1 = T1′
T = T′
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第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
2 mg 解得： 解得： = a 2m + M 1 + M
2
mM 1 g T = 2m + M 1 + M 2 m (m + M 1 + M 2 ) g T1 = 2m + M 1 + M 2
dθ dtv
(5)线速度 v = ω × r 线速度: 线速度 v v v (6)加速度 a = a t e t + a n e n 加速度: 加速度
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1.基本概念: (7)力 基本概念: 力 基本概念 (8)转动惯量 转动惯量: 转动惯量
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第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
4. 如图所示，已知：r，J0，m，G。 如图所示，已知： ， ， 。 飞轮的角加速度。 如果飞轮转过θ 求 ： 飞轮的角加速度 。 如果飞轮转过 1 角 绳与杆轴脱离， 并再转过θ 角后， 后 ， 绳与杆轴脱离 ， 并再转过 2 角后 ， 飞 轮停止转动， 求 ： 飞轮受到的阻力矩G的 轮停止转动 ， 飞轮受到的阻力矩 的 大小。 设飞轮开始时静止） 大小。（设飞轮开始时静止）
2
解得: 解得 G =
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5. 如图所示，长为 的轻杆，两端各固定质量分 如图所示，长为l的轻杆 的轻杆， 别为m和 2m的小球 ， 杆可绕水平光滑轴在竖直 别为 和 的小球， 的小球 平面内转动，转轴O距两端分别为 距两端分别为l/3、 平面内转动，转轴 距两端分别为 、2l/3。原 。 来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球 的小球， 来静止在竖直位置。今有一质量为 的小球，以 水平速度V 与杆下端作对心碰撞，碰后以V 的 水平速度 0与杆下端作对心碰撞，碰后以 0/2的 速度返回，试求碰后轻杆所获得的角速度。 速度返回，试求碰后轻杆所获得的角速度。
L
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m L
C O
1 2 解: mv = mgL 2
hc
θ C
1 2 1 2 mv = Jω 2 2
v m v L = Jω 的正方向⊙ L 的正方向⊙ L 1 2 2 1 Jω = Mg (1 − cos θ ) J = ML 2 2 3
C
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解: J 0ω 0 = ( J 0 + mR )ω
2
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1 1 1 2 2 2 2 2 J0ω0 + mgR= J0ω + m(ω R + vB ) 2 2 2
其中 解得: 解得
ω R +v = v
2 2 2 B
2 球对地
2
ω
A
ω = J 0ω0 /( J 0 + mR )
JωR vB = 2gR+ 2 J0 + mR
2 0 0 2
ω×R
O R B
C
vB
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3.力矩的时间累积： 力矩的时间累积： 力矩的时间累积 v v v 角动量: 角动量 L = r × mv 冲量矩: 冲量矩
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∫t1
t2
v M dt
= Jω
v
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v v v 角动量定理： 角动量定理： ∑ M d t = J ω 2 − J ω 1 ∫v v v 角动量守恒： 角动量守恒：M = 0 L = Jω = 常矢量
λ dl 2 2 J = ∆mi ri = r ⋅ dm dm = σdS ρdV 2.转动定律 2.转动定律: M = Jβ 转动定律:
v v v 矩: M = r × F
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∑
∫
v v 具有同轴性、同时性、同方向性。 M 与 β 具有同轴性、同时性、同方向性。
∫θ
θ2
1
M dθ
2
2
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二、典型例题 1. 已知 ：M1 、 R的鼓形轮， M2、r的圆盘 已知： 的鼓形轮， 的鼓形轮 的圆盘 悬挂m， 两轮的顶点在同一水平面上， 悬挂 ， 两轮的顶点在同一水平面上 ， M1 可绕水平光滑固定轴转动， 可绕水平光滑固定轴转动 ， 设绳与定滑轮 间无相对滑动。 间无相对滑动 。 求 ： 当重物由静止开始下 降时， 降时，（1）物体的加 ） 速度； 速度；（2）绳中张力。 2,r ）绳中张力。 M
r
G
m
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解: (1) mg − T = ma = m β 1 r
r
G T´ T
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Tr − G = J0β1
m mg
(2)ω = ω + 2βθ
2 2 0
mgr − G β1 = 2 J 0 + mr
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第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
2. 一块宽 一块宽L=0.60m，质量为 =1kg的均匀薄木版， 的均匀薄木版， ，质量为M 的均匀薄木版 可绕水平固定轴OO 无摩擦地自由转动。 可绕水平固定轴 ´ 无摩擦地自由转动。当木版 静止到平衡位置时，子弹m=10×10-3kg重击木版 静止到平衡位置时，子弹 × 重击木版 A点， A离轴距离 l = 0.36m，子弹击重前速度为 点 离轴距离 ， v0 =500m/s，击重后速度为v =200m/s。求: （1） ，击重后速度为 。 ） 子弹给木板的冲量； 子弹给木板的冲量； 2）木板获得的角速度。 （2）木板获得的角速度。 已知：木板绕OO 轴的转动惯量为J=ML2/3） （已知：木板绕 ´轴的转动惯量为 ）
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第2章 刚体定轴转动 章 1章 质点力学 第 章
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一、内容小结
1.基本概念 (1)角位置 θ 基本概念: 基本概念 角位置: 角位置 (2)角位移 ∆θ 角位移: 角位移 (3)角速度 ω = 角速度: 角速度
dω (4)角加速度 β = 角加速度: 角加速度 v vdt v v
1 m 3L 3L 2 J1 = ⋅ ⋅ ⋅( ) 3 2L 2 2 1 m L L 2 J2 = ⋅ ⋅ ⋅( ) 3 2L 2 2
m 1 L1 = ∫ v 0 xd x = m v 0 L 2L 2 −L / 2 O
x
v0
1 6v0 mv0 L = ( J1 + J 2 )ω ∴ω = 解得 2 7L
解得: 解得
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M = 3m
1 θ = arccos( ) 3
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7. 空心圆环可绕 竖直轴自由转动，如图 空心圆环可绕AC竖直轴自由转动 竖直轴自由转动， 所示。其转动惯量为J 环的半径为R， 所示。其转动惯量为 0，环的半径为 ，初 始角速度为ω 质量为m的小球 的小球， 始角速度为 0 。 质量为 的小球 ， 原来静 止放在A点 由于微小的干扰， 止放在 点，由于微小的干扰，小球向下滑 设圆环的内壁光滑。 动，设圆环的内壁光滑。 A 小球滑到B点时环的 求:小球滑到 点时环的 小球滑到 角速度及小球相对环 B 的速率。 的速率。 O
2
绳脱前 ω
− 0 = 2β1θ1
= 2β 2θ 2
绳脱后 0 − ω 2
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