3）频率与角度的变换关系： k k' x' x ' 与 轴的夹角 设： 与 轴的夹角 ； C 1 k k cos cos 则： C
k '1 k ' cos ' ' cos ' C C C cos ' cos i (i ) ' 代入变换式 C C C i ' i i cos

规定系数： 与 和 均无关，只与坐标 系之间的相互关系有关。 31 32 33 x3 用矩阵表示： 3' x
x2 ' 21 22 23 x2 1 11 1 12 13 x ' x
定义：一个物理量有16个分量，在四维空 间的正交变换下，能够按如下规律变换的 物理量叫四张量。
T ' T
那些量是四张量呢？下面我们认识几个四 张量。
4 四维波矢量： 1）电磁场的位相是不变量 o, o' P, P ' 从 重合发出第一列波时数起，到 P' P 重合时结束。凡是通过 的波峰都会通过 P, P ' 即 所记录的波数相同。 P P'




cos 两式联立：cos ' C cos v C 1 v cos sin ' 1 cos2 C2 sin 1 v 2 1 v
C
两式相除： 得到：

cos ' (cos v ) tg ' sin ' sin ' (1 cos ) C (cos v ) tg ' sin
3 三维空间正交变换： 1）三维空间的距离不变 i i j j
x' x' x x
2）变换系数满足正交关系
ijik jk
3）正交变换的逆矩阵就是它的转置矩阵 1 1 I ~ 由逆矩阵的定义 例： 0 1 sin cos
x'2 x2
x'
4
x'3 x3
C2 (t x1 ) ( x4 ix1 ) v

写成矩阵形式： 4
x ' i 3 x' 0 x '2 0 1 x'
0 0 1 0
0 1 0 0
C
光的传播方向、频率在坐标变换下变换关系
对光行差现象（星光的实际位置与观测位 置的差距与地球坐标系的运动的关系）的 解释——验证上述理论。
对多普勒现象（向着参考系运动和背离参 考系运动时光源频率的关系）的解释—— 验证上述理论。 五、物理方程的协变性： 协变性——同一个物理方程在不同的惯性 系中保持不变的性质。 物理方程保持协变性的条件：
S d
例：时空间隔 。固有时 问：三维标量是四标量吗？——不是 41 2 四维一阶张量—— 四矢量： 定义：
一个物理量有4个分量，在四维空间的正 交变换下，能够按如下规律变换的物理量 叫四矢量。
A' A
, 1,2,3,4
其中 为坐标变换矩阵元。 U 例：四维空间的坐标。四维速度 d U dx 定义四维速度为 C
0 x3 0 x2 1 i x
x4
简写式： 逆变换： x4
x' x
其中
0 0 1 0

为正交变换矩阵：

i 3 x 0 x2 0 1 x
1 1 1 1 11 1 12 13 x 1 1 x ' 1
可简写为：
其中 1
x2 ' x2
P
j ij x j ' xi ij x 1 1 j 1 3

1
*
为逆变换矩阵。
x1 ' x1 cos x2 sin
2 坐标旋转代表一种线性变换：
x1 ' x1

x3 , x3 '
x2 ' x1 sin x2 cos x3 ' x3
1 0 0

0 用矩阵表示： sin cos
系数与坐标无关的线性变换：
0 cos sin
特点： 1）三维空间距离不变。
0 cos sin 0 1 0 sin 0 cos 0 cos sin 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
二、物理量按空间变换性质分类： 30 1 标量—— 三维零阶张量 在三维空间正交变换下，保持不变的量。 31 2 矢量—— 三维一阶张量 某物理量有三个分量，在三维空间正交变 换下，三个分量的变换方式与坐标变换方 式相同，这样的物理量称为矢量。 32 3 张量—— 三维二阶张量
0 1 0 0
x'4 3 0 x' 0 x'2 1 i x'
讨论：
I 1
1）在四维空间（不是三维空间+一维时间） 洛仑兹变换是正交变换系数矩阵满足： 或： 2）建立了一个新的空间——四维空间（复 空间）其坐标变换由洛仑兹变换表示。今 后，电磁学定律的协变形式要在四维空间 条件下建立。
初时间
T 末时间 C C t R cos 波数相同 t ' R' cos '
t ' R' cos ' t' T'
0
C
t0 R cos
C
t
周期
T ' 2
'
T 2

C C ' t ' R ' cos ' t R cos 化简： ' ' t 'k 'R' t k R 即： k 'R'' t ' k R t 不变量 或写为：
在不同的惯性系里位相是不变量—四张量。 2）四维波矢量：
' t 'k 'R' t k R iC iC k 'R' ' 4 k R 4 x ' x 改写为： C k4 i
令：
k 'R'k '4 x'4 k R k4 x4
I ~
四、四维空间的协变量： 将物理量在四维空间的“转动”变换下 40 分类 1 四维零阶张量—— 四标量： 定义：在四维空间的正交变换下，能够保 持不变的物理量叫四标量。
u' ( x'1 , x'2 , x'3 , x'4 ) u( x1 , x2 , x3 , x4 ) 不变量
k '1 x'1 k '2 x'2 k '3 x'3 k '4 x'4 k1x1 k2 x2 k3 x3 k4 x4
改写为： x' , x 因为， 是四维空间矢量，点积是四维标 k 量。所以 是四维矢量。 C 或： 变换满足
k ( ki , i ) C k (k , i ) k ' 4 i 3 k' 0 k '2 0 1 k'
k ' x' k x 不变量
0 0 1 0
0 1 0 0
0 k3 0 k 2 1 i k
k4
k '4 (k 4 i k1 ) k '3 k3 k '2 k 2 k '1 (k1 i k 4 )
§4 相对论的四维形式 建立四维形式的原因： 1 相对论认为时间、空间是不可分的。 2 物理量、物理规律的协变性要求建立。 一、三维空间下的正交变换： 1 三维空间下的线性变换： 1 11 1 12 2 13 3
一般线性变换：
x ' x x x x2 ' 21 x1 22 x2 23 x3 x3 ' 31 x1 32 x2 33 x3
j 1 可简写为： xi ' ij x j ij x j 3
ij
xi
xi '
i, j 1,2,3
j 为哑指标（求和）。 其中：i 为自由指标。 x3 31 32 33 x3 ' 1 1 1 逆变换： x2 21 22 23 x2 '

前三维：U
第四维：

dt 1 u 2
2
U4
dxi C2 dt 1 u
2
dt u ui dxi
u
dx4
dt u iC u diCt
四维速度 或：
U u (ui , iC)
U u (u , iC) 42
3 四维二阶张量——
四张量：
3 x'1 x'2 x'3 x j x j xi xi OP x12 x2 x 2 2 2 2 2
2）系数的特点：
0 ij ik jk 1
jk jk
变换指标的作用。
x'i x'i ij x jik xk ijik x j xk jk x j xk x j x j