第六章留数理论及应用第6.2节留数定理的应用
利用留数计算积分的特点：
（1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；
（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；
（3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。

由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。

注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,)cos ,(sin 20
dt t t R I 的积分，其中R (x,y )是有理分式，并且在圆C :|z |=1上，分母不等于零。

注解1、我们计算所得的值这个广义积分的柯西主值，但由于此积分收敛，所以积分值等于主值。

注解2、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,
)(
dx x R I 的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次，即积分绝对收敛。

如果当z 在这闭区域上时，
是以O 为心、r 为半径的圆弧在这闭区域上的一段。

引理3.1设f (z )是闭区域
),0,0(||,210021 r z r Argz 上连续的复变函数，并且设r )(0r r ,
0)(lim
z f z 那么我们有
.
0)(lim r
dz e z f iz
r
注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,
)(
dt e x f I ix 的积分，其中f (x )在
Im z 0Im z 注解2、同样，上面求出的广义积分也是其柯西主值。

上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且当z 在上时，引理中的条件满足。

说明：
如果函数f(x)在上半平面可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可以计算某些广义积分，同样，所求出的广义积分（无限积分与瑕积分）也是其柯西主值，如下面的例子。

留数定理的应用--儒歇定理:
应用留数定理，我们也可以解决有关零点与极点的个数问题。

这里，我们只介绍儒歇定理，并应用它来决定方程在一些区域内根的个数。

儒歇定理：设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是一条或有限条简单闭曲线。

若函数f(z)及g(z)在D及C所组成的闭区域上解析，并且在C上，|g(z)|<|f(z)|，那么在D上，f(z)及f(z)+g(z)的零点的个数相同。

注解1、应用此定理时，我们只要估计和在区域边界上模的值。

注解2、f(z)及g(z)选择的原则是，f(z)在内的零点个数好计算。

例1、求方程,012558 z z z 在|z|<1内根的个数。

解：令,2)(,15)(85z z z g z z f 由于当|z|=1时，我们有
,41|5||)(|5
z z f 而,3|2||||)(|8
z z z g 已给方程在|z|<1内根的个数与-5z 5+1在|z|<1内根
的个数相同，即5个。

例2、如果a>e ，求证方程
n z az e 在单位圆内有n 个根。

证明：令,
)(,)(n z az z f e z g 由于当1|||| i e z ,|||)(|,|||)(|cos e a az z f e e e z g n z az n –e z 在|z|<1内的零点的个数与az n 相同，即n 个，因此方程在单位圆内有n 个根(重根按重数计算)。

n z az e 时，。