石河子大学本科毕业论文（设计）留数定理及其应用院系师范学院专业数学与应用数学姓名向必旭指导老师曹月波职称讲师摘要留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。
综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。
同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。
1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。
随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。
柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。
因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。
随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。
关键字：留数；留数定理；积分目录摘要···············································1. 引言·············································2. 留数············································· 2.1 留数的定义及留数定理························ 2.2 留数的求法·································· 2.3 函数在无穷远处的留数························3. 用留数定理计算实积分3.1 计算形如∫f (cos x ,sin x )dx 2π0的积分············ 3.2 计算形如∫f (x )+∞−∞dx 的积分···················· 3.3 计算形如∫P (x )Q (X )+∞−∞e imx dx 的积分················3.4 计算形如∫P (x )Q (x )+∞−∞cos mxdx 和∫P (x )Q (x )+∞−∞sin mxdx 的积分3.5 计算积分路径上有奇点的积分···················· 参考文献1. 引言留数理论是柯西积分理论的延续。
其中的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具。
留数在复变函数论本身和实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系。
此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域函内数的零点分布状况。
2.留数留数的定义及留数定理如果函数f(z)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a,则根据柯西积分定理，有∫f(z)Cdz=0但是，如果a是f(z)的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内，并包围点a,则积分∫f(z)Cdz的值，一般说来，不再为零。
并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。
概括起来，我们有定义设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心领域0< |z−a|<R内解析，则称积分1 2πi ∫f(z)τdz(τ:|z−a|=ρ,0<ρ<R)为f(z)在点a的留数，记为f(z)z=aRes由柯西积分定理知道，当0<ρ<R时，留数的值与ρ无关，利用洛朗系数公式，有1 2πi ∫f(z)dz=τc−1即f(z)z=aRes=c−1这里c−1是f(z)在z=a处的洛朗展式中1z−a这一项的系数。
留数的求法如果z0为f(z)的简单极点，则Res[f(z),z0]=limz−z0(z−z0)f(z)法则2：设f(z)=P(x)Q(X)，其中P(x),Q(x)在z0处解析，如果P(z)≠0，z0为Q(z)的一阶零点，则z0为f(z)的一阶极点，且Res[f(z),z0]=P(z)Q′(Z)法则3：如果z0为f(z)的m阶极点，则Res[f(z),z0]=1(m−1)!limz−z0d m−1dz[(z−z0)m f(z)].例 1 求函数f(z)=e iz1+z2在奇点处的留数解f(z)有两个一阶极点z=±i，于是根据法则得Res[f,i]=P(i)Q(i)=e i22i=−i2eRes[f,i]=P(−i)Q′(−i)=e i2−2i=i2e例 2 求函数f(z)=e izz(1+z2)2在奇点处的留数解f(z)有一个一阶极点z=0与两个二阶极点z=±i，于是由法则可得Res(f,0)=limz→0e iz(1+z2)2=1Res(f,i)=limz→i [(z−i)2?e izz(1+z)]′=limz→i[e izz(1+z)]′=−34eRes(f,−i)=limz→i [e izz(z−i)]′=6+i4e函数在无穷远点的留数定义设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在圆环域R<|z|<+∞内解析，则称12πi ∮f (z )dz (C:|z |=ρ>R )C为f (z )在点∞的留数，记为Res [f (z ),∞]，这里C −是指顺时针方向 （这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）。
如果f (z )在R <|z |<+∞的洛朗展开式为f (z )=∑C n z n∞n=−∞，则Res [f,∞]=−C −1这里，我们要注意，z =∞即使是f (z )的可去奇点，f (z )在z =∞的留数也必是这是同有限点的留数不一致的地方。
定理 如果f (z )在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内） 为z 1,z 2,?z n ,∞，则f (z )在各点的留数总和为零 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则 法则 Res [f (z ),∞]=−Res [f (1z )?1z 2,0]例3 求下列函数在所有孤立奇点处的留数： （1）z 2sin 1z； （2）1sin1z；分析 对于有限的孤立奇点a ，计算留数Res [f (z ),a ]最基本的方法就是寻求洛朗展开式中负幂项C −1(z −a )−1的系数C −1。
但是如果能知道孤立奇点的类型，那么留数的计算也许稍简便些.。
例如当a 为可去奇点时，Res [f (z ),a ]=0（切记当a =∞时此结论不成立）对于极点处留数的计算，我们有相应的规则或公式。
对于无穷远点的留数Res [f (z ),∞]，一般是寻求f (z )在R <|z |<+∞内洛朗展开式中负幂项C −1z −1的系数变号−C −1，也可转变为求函数−1z 2f (1z)在z =0处的留数，还可以用公式Res [f (z ),∞]=−∑Res [f (z ),a k ]n k=1，其中a 1,a 2,a 3,?a n 为f (z )的有限个奇点。