1 dx , cosh x 1 dx 3 cosh x
对于条件(1)






奇点 z=/2i, 3/2i,
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)



1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R

0
O
R
R



eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)



eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0

z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
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第一节 留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数
问题：寻找一条新的方法
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
设函数 f (z) 在闭合回路C所围成的区 域B内除有限个孤立奇点 z1, z2, …, zN 外解析，并且直到边界连续，则有

其中
C
f z dz 2 i Res f ( z j )
j 1
N
C
z
1
z
N
2
B
z
f z 0 可去奇点： Res zz
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型二



f x dx
其中被积函数在实轴上无奇点；积分区间为(-,)
无穷积分的收敛性 柯西主值
v. p




f x dx lim
R R R

R
f x dx

f x dx lim
f ( z)
1 (1 z 2 ) 2
y z=i O z=-i x



1 dx 2 i Res f ( z ) 2 2 z i (1 x )
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
说明II：
1. 当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个 奇点时该如何处理 2. 例子
第五章 留数定理及其应用
第一节 留数及留数定理 第二节 应用留数定理计算实函数的 积分
ห้องสมุดไป่ตู้
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第一节 留数及留数定理
留数的概念
设 z0 是函数 f (z) 的孤立奇点，则由Laurent定理 知：在 z=z0 点的某个去心邻域内 f (z) 可展开成 Laurent级数
f z
(A) 可去奇点 (B) m 级极点
Res f z 0
z z0
d m1 1 m Res f z lim m1 z z 0 f z z z z0 m 1! z0 dz


(C) 本性奇点
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按第一种方法来计算

R R

R
f x dx

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f x dx v. p

f x dx
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
将实积分化成闭合回路的复积分
R R
CR
lim

R
f x dx
f x dx
f ( z)dz
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
2. 利用实函数到复函数的自然扩张

f ( x) f ( z )
C
a
b
a
b
b


b a
a
f ( x)dx f ( z )dz
a
b
f ( x) dx f ( z) dz f ( z) dz
C
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
成立的前提: (1) f (z)在上半平面只有有限个奇点
lim (2) R
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CR

f ( z )e imz dz 0
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
说明I：
对于条件(2)
lim f ( z )e imz dz 0成立 1. 在什么条件下有 R
约当引理：若 f (z)0 (z )，则有
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
定积分的计算
Newton-Leibnitz公式

困难：求原函数
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
其中函数F(x)是函数f(x)的原函数

2
0

1 d 1 cos

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0
sin(x 2 )dx


0
cos(x 2 )dx
R
CR
lim
CR

f ( z )e imz dz 0
2. 关于条件 f (z)0 (z )的一点说明 3. 例子：计算积分


0
x sin x dx 1 x2
z f ( z) 1 z2
y z=i O z=-i x



x sin x 1 xeix iz dx dx 2 Res f ( z ) e 2 2 z i 1 x i 1 x
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
思考：
计算积分


cos x dx, 2 cosh x



cos x dx 4 cosh x
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
实轴上有奇点的情况
0
1 1 * * 1 R cos ,sin d R ( z z ), ( z z ) dz 2 2i iz | z| 1
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
举例：
例1：

2
0
1 d 1 cos
其中0<<1
留数定理的应用
例1
dz (0 1) 计算积分 2 z 2z | z| 1
1 z2 2z
设 f ( z)
奇点 z
1 1 2

一级极点
1
z z
0
dz 2 iResf ( z ) 2 z 2z | z| 1

cos x dx, cosh x



cos x dx 3 cosh x
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型三
CR



f x eimx dx
O R
其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点； -R 积分区间为(-,),m > 0



f ( x)eimx dx 2 i { f ( z)eimz 在上半平面内所有奇点 处的留数和 }
C
R
R
CR

f ( z )dz
-R
O
R
利用留数定理



f ( x)dx 2 i { f ( z )在上半平面内所有奇点 处的留数和 }
成立的前提: (1) f (z)在上半平面只有有限个奇点
lim (2) R
CR

f ( z )dz 0
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
1 i 2 i ( z z ) 1 2
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第一节 留数及留数定理
例2 计算积分
| z| 2

ze z dz 2 z 1
例3
计算积分
| z| 2

z dz 4 z 1
例4
计算积分
| z| 2

ez dz 2 z ( z 1)
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1 C cosh z dz R R 1 1 R dx dx R cosh x R cosh( x i ) 0 1 1 i dy i dy 0 cosh( R iy ) cosh( R iy )
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O
R
说明I：
对于条件(2)

lim f ( z )dz 0 成立 1. 在什么条件下有 R
引理：若 z f (z)0 (z )，则有
R
CR
lim
CR

f ( z )dz 0