两边除以（m-1）!后取 z b 的极限：
d m1 a1 lim m1 [( z b)m f ( z )] (m 1)! z b dz
数学物理方法
d m1 a1 lim m1 [( z b)m f ( z )] (m 1)! z b dz 3.令 m=1（一阶极点） ，得 a1 lim( z b) f ( z )
第四章 留数定理及其应用
已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数 值有很强的内在联系，这突出表现在柯西积分公式及其 推论。 1 f ( z) f (a) dz 2πi l z a 本章：讨论这种关系的另一种表现形式：解析函数 的积分值与函数的奇点的关系。 留数定理：复变函数的积分理论与级数理论相结合 的产物。

L
f ( z )dz 2 i Re sf (bk )
k 1
bn L3 b 3
Ln L2
b1 L1 L b2
数学物理方法

L
f ( z )dz 2 i Re sf (bk )
k 1
m
bn L3 b 3
Ln L2
b1 L1 L b2
（1）方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数在奇点 的留数。留数定理：将上述两者建立了一种关系。 （2）要计算解析函数的积分，关键：计算留数； （3）留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物； （4）bk (k 1, 2, ) 是 L 所包围的 f ( z ) 的所有奇点，而不是 f ( z ) 所有的奇点。
数学物理方法
二、留数的计算方法
奇点的类型
Re sf (b) a1 Re sf (b) a1 0
(1)
可去奇点
m 阶极点
1 d m1 a1 lim m1 [( z b)m f ( z )] (m 1)! z b dz
a1 lim( z b) f ( z )
(k ) 的系数 a 1 ，称为 f ( z ) 在 z bk 的留数。 (k ) a 1 ： f ( z ) 在它的第 k 个孤立奇点 bk 的邻域内洛朗展开式
中 ( z bk )1的系数。
数学物理方法
证明： 在 D 内， 以各个奇点 bk 为圆心， 作小圆周 L1 , L2 , 闭通区域。 由柯西定理： f ( z )dz
1 例 1：求 f ( z ) 在其奇点的留数。 ( z 2i ) z
z b
(2)
普遍公式 一 阶 极点
(3)
( z) , (b) 0, (b) ( z) a1 (b) (b) 0, (b) 0
f ( z)
在 0 z b R 展开 f ( z ) 得 a1
(4)
本性奇点
(5)
数学物理方法
证明： 1. f ( z ) 以可去奇点为中点的无心邻域中的洛朗级数没有负 幂项
两边对 z 求（m-1）阶导数：
a1 ( z b)m1 a0 ( z b)m
d m1 m! (m 1)! m 2 [( z b ) f ( z )] ( m 1)! a a ( z b ) a ( z b ) 1 0 1 m 1 dz 1! 2!

k 1, 2,
f ( z )dz
m
代入积分公式： f ( z )dz
L k
Lk

a
Lk
f ( z )dz
n
a

(k ) n

Lk
( z bk ) dz
n
n
(k ) a n 2 i n,1 m

(k ) 1
2 i 2 i Re sf (bk )
数学物理方法
第一节 留数定理 一、留数定理
若函数 f ( z ) 在 D 内除有限个孤立奇点 bk 外解析，则

L
f ( z )dz 2 i Re sf (bk )
k 1
m
L : D 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。
Re sf (bk ) ：f ( z ) 在 D 的无心邻域 0 z bk R 的洛朗级数
z b
Hale Waihona Puke 4.有时 f ( z ) 具有分式的形式：
( z) ( z) f ( z) (b是f ( z ) 的一阶极点，则是 的一阶零点） ( z) ( z)
式中 ( z), ( z) 均在 b 点解析，且 (b) 0，而 b 为 ( z ) 的一 阶零点（即 (b) 0, (b) 0)
( z) z b z b ( z) ( z ) ( z b) ( z ) (b) 由洛必达法则： a1 lim z b ( z ) (b)
a1 lim( z b) f ( z ) lim( z b)
数学物理方法
5.对本性奇点， 没有简单的公式， 要在 b 点的无心邻域将 f ( z ) 展开成罗朗级数，求得 a1 。
f ( z ) ak ( z b) k
k 0
a1 0
2. f ( z ) 以 m 阶极点为中心的无心邻域中的洛朗级数为：
a m a m1 f ( z) m m 1 ( z b) ( z b) a1 a0 a1 ( z b) z b
L k
Lk 分
别包围各奇点 外边界线 L 与所有小圆周为内边界构成复
Lk
f ( z )dz
分别在各个 bk 的无心邻域 0 z bk R 中将 f ( z ) 展开成洛 D 朗级数
bn
L3 b3 Ln L2
b1
b2
L1
L
数学物理方法
f ( z)
n
(k ) n a ( z b ) n k
怎样求 a1 ？
数学物理方法
a m a m1 f ( z) m m 1 ( z b) ( z b)
a1 a0 a1 ( z b) z b
两边乘 ( z b)m 得：
( z b)m f ( z ) a m a m1 ( z b)