向量综合训练
一、填空题
1、在平面直角坐标系中，a 在x 轴、y 轴正方向上的投影分别是3−、4，则a 的单位向量是_______．
2、已知(1,2)a =，(2,3)b =−，(2)a b +∥()a kb +，则实数k 的值是
3、若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 与b 夹角为
4、已知向量()
1,3a =，()3,b m =．若向量b 在a 方向上的投影为3，则实数m =________.
5、已知(2,1)a =，(,1)b λ=，若a 与b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围____________．
6. 已知||1a =，||1b =，a 、b 的夹角是60°，若向量c 满足||1c a b −−=，则||c 的最小值为
7. 定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，m n a b p
q
*=
，有下列说
法：① 若a 与b 垂直，则0a b *=；② a b b a *=*；③ 对任意的λ∈R ，有()()a b a b λλ*=*；④
22
22()()a b a b a b *+⋅=；其中正确的是 （写出所有正确的序号）
8、设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧
上运动（包含B 、C 两个端点），
π3
2
=∠BAC ，且AP AB AC x y =+，xy y x ++的取值范围为_________．
9、已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点，若||=||AB AC ，则AB AC ⋅的最小值是
10、在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，当AE BE ⋅取到最小值时，DE 的长为
11、已知圆O 中，弦3AB =，5AC =，则AO BC ⋅的值是
12、如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点
A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点(,)BP mBC nBA m n =+∈R ，则m n +的取值范围是
13、已知正三角形ABC 的边长为，点M 是ABC ∆所在平面内的任一动点，若||1MA =，则
||MA MB MC ++的取值范围为________.
二、选择题
1、已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a ，)23,(−=→m m b ，且平面内的任一向量→
c 都可以唯一的表示成→
→
→
+=b a c μλμλ,(为实数），则实数m 的取值范围是（ ） A. (,2)−∞
B ．(2,)+∞
C ．(,)−∞+∞
D ．(,2)
(2,)−∞+∞
2、如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为 ( )
A. {}21012、、、、−−
B. ⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
−−−212
102112、、、、、、
C. ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧−−−2312
1021123、、、、、、 D. ⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧−−−−22
31210211232、、、、、、、、
3、已知,,a b e 是平面向量，e 是单位向量. 若非零向量a 与e 的夹角为
3
π
，向量b 满足
2
430b e b −⋅+=，则||a b −的最小值是（ ）
1− 1 C.2 D.2
4、对任意两个非零的平面向量α和β，定义||
cos ||
ααβθβ⊗=
，其中θ为α和β的夹角，若两个非零的平面向量a 和b 满足：① ||||a b ≥；② a 和b 的夹角(0,)4
π
θ∈；③ a b ⊗和b a ⊗的值都在集合
{|,}2
n
x x n N =∈中，则a b ⊗的值为（ ）
A. 52
B. 32
C. 1
D. 1
2
三、解答题 1、设12
2018PP P 是半径为1的圆O 内接正2018边形，M 是圆O 上的动点.
（1）求122334201720181
||PP P P P P P P PM ++++−的取值范围； （2）求证：2
2
2
122018MP MP MP +++为定值，并求出该定值.
2、在ABC △，已知AB AC ⊥，M 是BC 的中点.
（1）若||=||AB AC ，求向量2AB AC +与向量2AB AC +的夹角的余弦值；
（2）若O 是线段AM 上任意一点，且||||2AB AC ==，求OA OB OC OA ⋅+⋅的最小值；
（3）若点P 是边BC 上的一点，且||2AP =，2AP AC ⋅=，1AP AB ⋅=，求||AB AC AP ++的最小值.
参考答案
一、填空题 1、【答案】34
(,)55
− 2、【答案】12
3、【答案】
6π
4 5、【答案】),2(2,21∞+⎪⎭
⎫
⎝⎛−
．
6. 1
7. 【答案】（3）（4） 8、【答案】[1，3]
【解析】建立以点A 为直角坐标系为原点，AB 为x 轴，AB 为y 轴的直角坐标系， 则A （0，0），B （1，0）
，1(2C −，P （cosθ，sinθ），2(0)3
π
θ≤≤，
又AC
y AB x AP +=，
所以cos 2sin y x y
θθ⎧=−⎪⎪
⎨⎪=⎪
⎩，
即
cos x y θθθ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，
所以2221cos sin cos sin 2sin()sin(2)36363x y xy ππθθθθθθθ++=++=++−+20,3πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 又12sin()6y πθ=+，221sin(2)363y πθ=−+都在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦为增函数，在
2,23ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
为减函数， 则当θ=0或
23
π
时，x+y+xy 取最小值1，当θ=2π时，x+y+xy 取最大值3，
即x+y+xy 的取值范围为：[1，3]， 故答案为：[1，3] 9、【答案】1
2−
10、【答案】
4
提示：()()AE BE AD DE BA AD DE ⋅=+⋅++21
101cos15002
DE DE ︒=
+++⋅⋅
++
2232121
(2241616
DE DE DE =−
+=−+≥
、【答案】A
2
430(3)()0(3)()b e b b e b e b e b e −⋅+=⇒−⋅−=⇒−⊥− 因此构造下图，使得b 的终点在一个以(2,0)为圆心， 为半径的圆上，a 的终点在直线3y x =
上，
|a b −的最小值是点(2,0)到直线3y x =
的距离再减去半径1， min |230|
|113
a b −−=
−=+、【答案】B 三、解答题
、【答案】（1）122334201720181120181
2018||||||[0,2]PP P P P P P P PM PP PM MP +++
+−=−=∈）证：2
2
2122018()()()OP OM OP OM OP OM −+−+
+−
2
2
2
1201812018)2()2018OP OP OM OP OP OM +
+−⋅+
++
1201820182()2018OM OP OP −⋅+
++20182020184036OM =−⋅+= 证毕
注：120180OP OP ++=，理由：
12018,
,OP OP 这2018个向量都旋转22018
π
弧度后，12018OP OP ++不变，因此和向量旋转
22018
π
弧度后也不变，即和向量为零向量. 、【答案】（1）
4
5；（1−11
,2||,1||cos 2sin CAP AP AC AC AP AB AC αα∠==⇒=
=⇒=222
2222min 11sin cos 45|424cos 4sin cos 4sin 47
|=
2
AB AC AP AB AC AP αααααα++=++++=++++e a b
y
21。