N P N S 的正交补空间称为噪声子空间，记为 N
i 1
P N
N P NN 只是数学上的定义，并非物理上的噪声。
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分析： 信号子空间：span a 1 , a 2 ,, a P 对于等距线阵（ULA） T
2 d j sin a 1 e

j
2 d
sin 1
j
2 d
sin 2
，则 a 1
P 当信号子空间已知（ S N ），进行方向估计方法：
N P N 用 a 为搜索矢量，向 S 上做投影，或向 N 做
投影。
P N
N P 定理：a 在 N N 上投影矢量长度等于零的充要 P 条件为 1, 2 , , P , ,或 a 在 S N 上投影矢 量就是自己本身的充要条件为 1, 2 , , P ,
优点：完全避开了在一般非理想的情下，MUSIC方法必须面 对的识别大特征值和小特征值的麻烦，容许小特征值有多 个取值，始终以最小特征值作为噪声特征值，从而使其对 应的特征向量所生成的噪声子空间不受信噪比的变化和阵 元数及快拍数限制的影响，始终与阵列的导向矢量保持最 严格的正交关系。特征矢量用得越少，分辨力越好。
单信源
E x1 t x t e 2 d 在不模糊的情况下( 可以测定。 sin 2 )，
* 2 2 s
j
2 d

sin
在保证不模糊的情况下，天线离越远越好。 d,
精度提高，这是因为 3dB
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0.886 (rad ) L cos 0
2. 波束扫描
波束形成： y t W x t
H
普通波束形成（匹配滤波）W a 0
y t a
0 x t H a 0 s t a 1 H s t a 0 a 1
H
扫描指： 0 变化在 [0,180] 范围内，画出输出功 率随扫描角度变化的图形。 问题：虽可测多个信源，但当多个信源的夹角小 于一个波束宽度时，无法分辨。 波束宽度与阵列孔径成反比，又称为瑞利限。
解，从而得到与信号分量相对应的信号子空间和与信号分量 正交的噪声子空间，然后利用这两个子空间的正交性来估计 信号的参数。
窄带远场的信号模型： X (t ) A( )s(t ) N (t ) 则 R E[ XX ] AE[SS ]A 2 I ARs A 2 I
5) 计算谱峰：S
1 Pn a
1
i P 1

N
a
H
vi
2
N P N 谱峰与信号强度无关，只反映 a 与 N 的正交性。
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值得注意的是：
1. 非理想情况下得到的协方差矩阵的特征值满足：
1 2 N N 1 M
∴有P个非零特征值 1 2 p 0
N 个特征矢量 另有 N P 个零特征值，
v1 , v 2 , , v p , v p 1 ,, v N
非零 N－P个零特征值
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对 R A R s A n2 I 的特征分解为
用 W opt
1 1 R a 为权系数进行波束扫描。 H 1 a R a
H opt
阵列波束形成的输出功率为
SC W
^
RW opt
由于信号和噪声相互独立，数据的协方差矩阵可以分解为与 信号和噪声相关的两部分，大特征值对应的特征矢量张成的 空间称为信号子空间，理想条件下，信号子空间和噪声子空 间是相互正交的。
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Music方法步骤： ^ 1) 由阵列数据 x ti 估计相关矩阵 R 1
2) 对 R 作特征分解。
缺点：稳健性差
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仿真结果：来波方向为 30 ,34 , 40
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§ 5.3子空间高分辨处理与波束形 成方法比较
1. 波束扫描法
常规波束形成方法： arg max S aH Ra

^
最优波束形成方法：（LCMV法） 最优权： min W H RW W
（但是不能推出 vi a i ）
或 R 的 N P 个小特征值对应的特征矢量 v p1 ,, v N
N P 张成 N N 。
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Music----Multiple Signal Classification（多重信号分类法）
基本思想：将任意阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分
Music算法实质是基于一维搜索的噪声子空间算法
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基于解相干的Music算法：
Music算法在理想条件下具有良好的性能，但在信号源相 干时算法变得很坏。 极端地，当信号完全相干时，阵列接收数据的协方差矩阵 的秩降为1，显然这会导致信号子空间的维数小于信号源数， 也就是说信号子空间“扩散”到噪声子空间，这会导致某些相 干源的导向矢量与噪声子空间不完全正交，从而无法正确估计 信号源方向。 此时，核心问题就是解相干或去相干，主要方法有： 降维处理 空间平滑：对修正后的协方差方阵特征分解 矩阵重构：对修正后的协方差长方阵奇异分解
H
x ti x
i 1
M
H
ti
A R s A
H
n2 I
满秩
假定 E N t N
E s t s
H
H
2 t n I
t Rs
H
先对矩阵作特征分解 A Rs A
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下面给出简单证明
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P 证明：N维矢量 a 向 S N 上投影。
“ ”：显然 ∵ a span a 1 , a 2 ,, a P
N P P N S Pn ） “ ”：记向 N （或 N ）投影矩阵为 P （或 s
e
N 1 T
j
2 d

N 1 sin

1 Z Z

其中
1 xN 2 xN N 1 xN
Z e
j
2 d

sin
1 范德蒙矩阵： x1 M x12 N 1 x 1
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§ 5.2正交子空间投影与高分辨处理
1. 信号子空间与噪声子空间的定义
信号模型： N元阵接收p个信源
x t si t a i i N t
p
无噪声条件下： x t span a 1 , a 2 ,, a P 定义span a 1 , a 2 ,, a P 为信号子空间，是N维 P 线性空间中的P维子空间，记为 S N 。
而不满足 1 2 N N 1 M 2
2. 由于 UsUs UnUn I ，表明利用噪声子空间进行信 号参数估计与利用信号子空间进行估计是一致 的。 3.
ˆ 0 a 当 a( ) 属于信号子空间时， ( )U ，此时空 n
间谱会在信号源方向出现“谱峰”。
* E s t s 特例：P个信号独立， i j t 0
i j
12 0 2 2 Rs 2 P 0 s21 0 p H H 2 A A a a si i i i 1 2 0 sp
M
x ti x
i 1
M
H
ti
P 或用 N P 3) 用 P 个大特征值对应的特征矢量构成 S N 个小特征值对应的特征矢量构成 N N P
N N P作投影 4) 用搜索矢量 a 向 N N
N H Pn a vi vi a i P1
H
有P个大特征值
2 2 2 2 2 1 n 2 n P n n n N P个

可以证明：P个大特征值对应的特征矢量 v1, v2 ,, v p P S 张成信号子空间 N
span v1 , v 2 , , v p span a 1 , a 2 , , a P
1 x2
2 x2

N 1 x2
是满秩的充要条件为 xi x j ,当i j 。
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已知 a 1 和 a 2 ，则只要 和 a 2 线性无关，
e a a 1 sin 1 sin 2时， d 和 2 线性无关。 即当 ， 2 e
1 P
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P N 1
P N P S 2. N或 N N 的建立
已知：N元阵列接收的一批数据 x ti
i 1, 2,, M
由 x t A s t N t 计算相关矩阵
1 R E x t x t M
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a a
则 a span a 1 , a 2 ,, a P
i , i 1 ~ P 反证：假设，
即 a , a 1 , , a P 线性相关（ P ＋ 1 个导向 矢量）。 a , a 1 , , a P 应线性独 而当 P 1 N 时， 立。矛盾。
非降维处理