雅礼中学高一年级期末测试
数学试卷
一，选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合{}{}
3213=M m Z m N n Z n =∈-∈-≤≤＜＜，，则=M N ⋂
A. {}0,1
B . {}1,0,1-
C . {}0,1,2
D . {}1,0,1,2-
答案：【B 】 2. 函数()21
log 3y x x
=
++的定义域是 A. R
B .()3,-+∞
C . (),3-∞-
D . ()()
3,00,-⋃+∞
答案：【D 】
3. 设11,1,,32
a ⎧
⎫∈-⎨⎬⎩
⎭
，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为
A. 1, 3
B. -1, 1
C. -1, 3
D. -1, 1, 3
答案：【A 】
4. 若2
23
2,,log ,3x
a b x c x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则1x ＞时，,,a b c 的大小关系是
A. a b c ＜＜ B .c b a ＜＜ C . c a b ＜＜ D . a c b ＜＜
答案：【C 】
5. 一个几何体的三视图如图所示，那该几何体的体积为
A.
16123
+π
B .32123
+π
正视图
侧视图
C . 168π+
D . 328π+
答案：【A 】
6. 若函数()y f x =是函数()01x
y a
a a =≠＞
且的反函数，且()y f x =
的图像经过点)
a ，则()f x =
A. 2log x B .2log x - C .
12
x D . 2
x 答案：【B 】
7. 丙申猴年春节马上就要到来，长沙某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商
场规定：
①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次性购物超过500元，其中500元予以九折优惠，超过500元的部分予以八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款
A. 608元 B .574.1元
C . 582.6元
D . 456.8元
答案：【C 】
8. 直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是
A. 210x y +-= B .210x y +-=
C . 230x y +-=
D . 230x y +-=
答案：【D 】
9. 函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间
A. 11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭
B .11,42⎛⎫
⎪⎝⎭ C . 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D . ()
1,2
俯视图
答案：【C 】
10. 在三棱锥S ABC -中，,AB AC SB SC ==,则直线SA 与BC 所成角的大小为
A. 90o
B .60o
C . 45o
D . 30o
答案：【A 】
11. 设()f x 是定义在R 上且图象为连续不断的偶函数，且当0x ＞时，()f x 是单调函数，
则满足()34x f x f x -⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
的所有实数x 之和为 A. 5-
B .2-
C . 3-
D . 8-
答案：【A 】
12. 定义在R 上的函数，对于任意实数x ，都有()()33f x f x +≤+，且
()()22f x f x +≥+，且()12f =，则()2016f 的值为
A. 2014 B .2015
C . 2016
D . 2017
答案：【C 】
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且共同顶点上的三条棱的长分别是1,2,3，
则此球的表面积为_________. 答案：【14π】
14. 在矩形ABCD 中，AB 边所在的直线方程为360x y --=，点()1,1T -在AD 边所在直线
上.则AD 边所在直线方程为__________________. 答案：【320x y ++=】
15. 湖南某县计划十年时间产值翻两番（4倍），则产值平均每年增长的百分率为_________.
（参考数据：0.0602
lg 20.3010,10 1.149,lg11.49 1.0602===）
答案：【14.9%】
16. 已知函数()3log f x x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,t ，用含t 的表达式表示b a -的
最大值记为()M t ，最小值记为()N t ，设()()()g t M t N t =-. （1） 若t =1,则()1M =________.
（2） 当12t ≤≤时，()()2
151
g t g t +⎡⎤⎣⎦+的取值范围为___________.
答案：【879;6,39⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
】 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤.）
17. （本小题满分10分）
已知函数()f x 的定义域为{}0,x x x R ≠∈的奇函数，且当0x ＞时，()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（1） 求函数()f x 的解析式/
（2） 画出函数的图象，根据图象写出()f x 的单调区间.
解：（1）由题意得：()00f =；当0x ＜时，0x -＞；()()2x
f x f x =--=-
所以，函数解析式为()f x = ()
()
()
2000102=x x
x x x -⎛⎫
⎪⎝⎭
＜＞
（2）函数图象如下图所示，单调递减区间为()(),0,0,-∞+∞
18. （本小题满分12分）
已知两直线：()12:40,:10l ax by l a x y b -+=-++=
（1） 当2a =且直线1l 与直线2l 平行时，求直线1l 与直线2l 的距离. （2） 直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与直线2l 垂直，求a,b 的值. 解：（1）12:240,:0l x by l x y b -+=++=，又12l l P ，2b =-
直线1l 与直线2l
的距离d =（2）由已知条件得：(){
340
1a b a a b
-++=-=即2
440,a a -+=求得：2,2a b ==
19. （本小题满分12分）
如图，三棱锥S ABC -中，底面ABC
的正三角形. ,SA SC a D ==为AC 的中点.
（1） 求证：AC ⊥平面SBD
（2）若二面角S AC B --的大小为90o
， 求二面角S BC A --的正切值.
解：（1）SA SC AC SD =∴⊥Q
∵底面ABC 是正三角形 ∴BA BC = AC BD ⊥
,SD BD Q 为面SBD 内两相交线
∴AC ⊥平面SBD
A
B
C
D
S
H
（2） 作DH BC ⊥交BC 于H ，连接SH .
由（1）可知，二面角S AC B --的平面角为90SDB ∠=o
SD ∴⊥平面ABC SD BC ⊥
又BC DH ⊥
BC SDH ∴⊥平面 BC SH ∴⊥
∴二面角S BC A --的平面角为SHD ∠
可求得：,2
SD SB =
=
利用三角形面积相等，可得：4
SH a =
∴tan /2SHD ∠=
=。