@学无止境！@绝密★启用前 试卷类型：A 最新第一次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（ ）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 （ ）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（ ）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（ ）@学无止境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（ ）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ∃∈R ，”，则⌝p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ∃∈++<R “使得”的否定是：“210x x x ∀∈++<R ，”D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的一条对称轴方程可以为 （ ） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是 （ ）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执行如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积（ ）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321的展开式中存在常数项，则n 可以为 （ ） A ．8 9 C ．10 D. 1111．=∠=⋅==∆C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （ ）A ．︒60B ．C ．︒150D ．︒120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最小值，则当,c b 的值分别为方程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.13．一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为@学无止境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯口直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ， 则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满足n b n n a a a a 2222233221=+⋅⋅⋅+++(1)求数列{}n b 的通项 ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

18. （本小题满分12分）我国新发布的《环境空气质量标准》指出：空气质量指数在050-为优秀，人类可正常活动。

某市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.（1） 求a 的值，并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（2） 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ.求ξ的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）如图，ABCD 是平行四边形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD //,42B ===EA PD D ，3=AD ，5=AB . F ，G ，H 分别为PB ， EB ，PC 的中点．@学无止境！@（1）求证：GH DB ⊥；（2）求平面FGH 与平面EBC 所成锐二面角的余弦值。

20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为32e =，以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 与直线1l ： 2y x =+相切。

(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设不过原点O 的直线2l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围。

21． （本小题满分12分）已知定义在R 上的偶函数()f x ，当[0,)x ∈+∞时，()xf x e =.（1）当(,0)x ∈-∞时，求过原点与函数()f x 图像相切的直线的方程;（2）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤.请在第22.23.24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22． （本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，A 、B 是圆O 上的两点,且AB 的长度小于圆O 的直径， 直线l 与AB 垂于点D 且与圆O 相切于点C.若1,2==DB AB （1） 求证：CB 为ACD ∠的角平分线; （2）求圆O 的直径的长度。

23． （本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x+y-8=0，曲线C 的参数方程为@学无止境！@cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）. （1） 已知极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴，若点P 的极坐标为4π（，），请判断点P 与曲线C 的位置关系； （2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值与最大值。

24． （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()f x x a =-．(1) 当2a =时，求不等式124)(-+≤x x f 的解集；（2） 若{}04|2≤-=x x x A ,关于x 的不等式2)(2-≤a x f 的解集为B ,且A B ⊆,求实数a 的取值范围.数学试卷（理科）参考答案二．填空题： 本大题共4小题，每小题5分． 13. 169π ；14. 5.625cm 或558cm 或 458cm ；15. ⎥⎦⎤⎝⎛8,516 ; 16. 1867提示： 1. 复数2255(12)12121(2)i i ii +==+--，所以虚部为2。

选D2. A 中()f x 非奇非偶；B 中()f x 是偶函数；C 中()f x 在(,0)+)-∞∞、（0，分别是减函数，但在定义域(,0)+)-∞∞U （0，上不是减函数；D 中22(0)()=(0)x x f x x x ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩是奇函数且在R上是减函数。

选D@学无止境！@3.()()cos cos cos αππαα-=-=-=12，1cos 2α=-又0πα-<<， 所以23πα=-，22tan tan()tan tan 3333πππα=-=-==。

选A4.双曲线a=2,b=1,c=225a b +=,它的左右焦点分别是1F (0,5)，2F (0,5)-，由定义有121|||||||||6|24,PF PF PF a -=-==所以 1||64PF =±，1||210PF =或。

选A6. 法一：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得新函数()sin[2()]33g x x ππ=--sin(2)sin 2x x π=-=-，由22x k ππ=+得()g x 对称轴为24k x ππ=+，k Z ∈，取1k =，得43π=x 为所求。

选A法二：由232x k πππ-=+，k Z ∈得()f x 对称轴为5212k x ππ=+，k Z ∈，图像向右平移3π个单位得()g x 对称轴为53212324k k x πππππ=++=+，k Z ∈取0k =，得43π=x 为所求。

7. 由已知把第一个及第二个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共323323A A A 种方法，而三个学校的学生随便排有66A 种方法，由古典概型的概率计算公式得所求概率：32332366A A A 121A 65410P ===⨯⨯，故选C ． 8．第1次运算：10111112S S ===---，1k =；第2次运算：2111111(1)2S S ===---，2k =；第3次运算：3021121112S S S ====--，3k =；{}n S 是周期为3的周期数列，201536712212S S S ⨯+===，2015k = ；所以2015a = 满足要求。

选B9.该几何体是三棱柱111ABC A B C -砍掉一角111B A B C -而成的，体积为111111111ABC B ABC 2V -V V 3A B C A B C A B C ---=214352032=⨯⨯⨯⨯=，选B 10．nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321的展开式通项为@学无止境！@23251()()(1)r n r r rr n r r n n T C x x C x ---+=-=- ，若存在常数项，则250n r -=有整数解，故25n r =，n 必为5的倍数，选C11. 22()||686cos 60BA CA CA CB CA CA CB CA C ⋅=-⋅=-⋅=-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1cos 2C ∴=-又0(0,180)C ∈︒120C ∴=︒。