性代数
课后小结
这节课我们学习了消元法求解线性方程组，归纳起来就是，首先用初等变换 把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0 = 0”，则将其去掉．如果 剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有 解．方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程 组有唯一解；如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数，则方程组有无穷 多个解．
解的充要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 A~ ( A b) 提问：如何利用初
的秩,
即
r
(
A)

r(
~ A).
注：记 (A b)

~ A
，则上述定理的结果，可简要总结如
等变换求解线性方 程组
下: (1) r(A) r(A~) n Ax b有唯一解； (2) r( A) r( A~) n Ax b有无穷多解；
k (ka1, ka2,, kan ) .
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.
注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，
从而也满足下列运算规律:
(1) ;
(2) ( ) ( ) ;
(3) 0 ;
(4) () 0;
在中学阶段，解二元、三元线性方程组时曾用过加减消 练习、答疑 25 分钟
元法，实际上这个方法比用行列式求解更具有普遍性，是解
一般 n 元线性方程组的最有效的方法．
教学基本内容 内容要点
及过程
引例 用消元法求解下列线性方程组:
2x1 2x2 x3 6

x1

2x2

4x3

3
5x1 7x2 x3 28
i (ai1, ai2 ,, ain ) (i 1,2,, m)
组成的向量组 1, 2,, m 称为矩阵 A 的行向量组. 根据上述讨论，矩阵 A 记为
1
A (1,2,,n )
或
A


2
n

.
这样，矩阵 A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对 应关系.
矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向
量组. 而线性方程组
Amn X 0
的全体解当 r(A) n 时是一个含有无限多个 n 维列向量的
向量组. 定义 2
注：给出线性方程 两 个 n 维 向 量 (a1, a2,, an ) 与
组相应解释？
(b1, b2,, bn ) 的各对应分量之和组成的向量，称为向量
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21x1 a22x2 a2n xn b2


am1x1 am2 x2 amnxn bm
其矩阵形式为 其中
AX b
(1) (2)
a11 a12 a1n
.
x1 9x2 3x3 7x4 7
x1 x2 2x3 3x4 1
例 3 解线性方程组

x1

x2 x3 2x2 3x3
4x4 x4
1 4
.
2x1 3x2 x3 x4 6
x1 x2 2x3 3x4 1,
(1)
am1x1 am2 x2 amnxn bm
注：补充给出线性 方程组线性组合的 概念？
a1 j
b1
令
j

a2
j


amj

( j 1,2,, n),


b2 bm

则线性方程组(1)可表为如下向量形式:
1x1 2x2 n xn
(2)
于是, 线性方程组(1)是否有解, 就相当于是否存在一组数
k1, k2,, kn 使得下列线性关系式成立：
提问：线性方程组 的有解定理？
k11 k22 knn.
定义 4 给定向量组 A :1,2 ,,s ，对于任何一组实
学年度第 学期
线性代数 课堂教学方案
授课年级 专业层次 授课班级 授课教师
年 月日
《线性代数》教案
任课教师 授课时间
授课题目 （章节）
授课班级
1
教学时间安排
第三章 线性方程组
第一节 消元法
2学时
教学目的、要 求（教学目标）
⑴ 了解线性方程组的概念 ⑵ 掌握线性方程组解的存在性判断方法及解的表示方法
组. 例如，一个 m n 矩阵
每一列
a11 a12 a1n
A


a21
am1
a22
am2

a2n
amn

a1 j

j

a2 j



(
j
1,2,n)
amj
组成的向量组1,2,,n 称为矩阵 A 的列向量组，而由矩 阵 A 的的每一行

x1

x2

ax3

1
P74 5⑴ 6⑵
课外阅读 1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社， 资料或自主 1995
学习体系安 2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
排
3. /special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线
《线性代数》教案
任课教师 授课时间
授课班级
1 教学时间安排
2学时
授课题目 （章节）
第二节 向量组的线性组合
教学目的、要 求（教学目标）
⑴ 了解向量组的概念 ⑵ 掌握向量组的线性运算法则 ⑶ 掌握向量组的线性组合判断方法及线性表示方法
教学重点 与难点
教学方式、方 法与手段
向量组的线性组合判断方法 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合
例题选讲
例 1 求解齐次线性方程组
x1 2x2 2x3 x4 0 2x1 x2 2x3 2x4 0. x1 x2 4x3 3x4 0
x1 5x2 x3 x4 1
例2
解线性方程组

x1

2x2

x3
3x4

3
3x1 8x2 x3 x4 1
(5) 1 ;
(6) k(l) (kl);
(7) k( ) k k;
(8) (k l) k l. 二、向量组的线性组合 考察线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21x1 a22x2 a2nxn b2
称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何
形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有
次序实数），此即上面定义的 3 维向量. 因此，当 n 3时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当 n 3时，n 维向 量没有直观的几何形象.
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量
x1
b1
A


a21
am1
a22
am2

a2n
amn
,
X

x2 xn
,
b

b2 bm
,
称矩阵 (A b) （有时记为 A~ ）为线性方程组(1)的增广矩阵.
当 bi 0, i 1,2,, m 时, 线性方程组(1)称为齐次的;
例 4 讨论线性方程组

x1

3x2

6x3

x4

3,
3x1 x2 px3 15x4 3,
当 p,t
x1 5x2 10x3 12x4 t
取何值时, 方程组无解? 有唯一解? 有无穷多解? 在方程
组有无穷多解的情况下, 求出全部解.
x1 2x2 3x3 x4 1 1.求解非齐次方程组 3x1 x2 5x3 3x4 2.
注：自由未知量与 非自由未知量的关 系及选择原则
(3) r(A) r( A~) Ax b无解； (4) r(A) n Ax 0只有零解.
注: 线性方程组所 有解的表示方法.
(5) r(A) n Ax 0有非零解.
而定理的证明实际上给出了求解线性方程组(1)的方法: 对非齐次线性方程组，将增广矩阵 A~ 化为行阶梯形矩
数 k1, k2 ,, ks , 表达式
k11 k22 ks s
2x1 x2 2x3 2x4 3
作业与 课外训练
x1 x2 x3 x4 0
2.求解非齐次方程组

x1

x2

x3

3x4
1
.

x1

x2

2 x3

3x4

1/
2
x1 x2 x3 a

3. a 取何值时, 方程组 ax1 x2 x3 1 有解, 并求其解.
教学重点 与难点
线性方程组解的存在性判断方法及解的表示方法
教学方式、方 法与手段
讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合
问题导入：线性方程组是线性代数的核心,本章将借助线性
方程组简单而具体地介绍线性代数的核心概念,深入理解它 们将有助于我们感受线性代数的力与美.
理论讲解 35 分钟， 习题选讲 30 分钟，
内容要点