Ax=b
此时，解为 x + δx , 则有 A(x + δX) = b+δb 据 Ax=b 得 Aδx = δb δx =A-1 δb ①
||δx || <= ||A-1|| ||δb ||
由 b = Ax 知 || b || <=||A|| ||x||
则 由 ①，②可得
②
2）设 b 精确，A有扰动 δA 解为 x +δx
1 j n i 1
n
（2）行范数：

max aij
1 i n j 1
n
（3）谱范数：
A
2

1
T 1 2
其中

( A A )
A A的最大特征值
T
是 1
（4）F范数：
A F ( a )
i 1 j 1 2 ij
n
n
1
2
Frobenius范数
简称F-范数
(3) 设 b有扰动 ，A有扰动 δA ,解为 x +δx 此时 ( A + δA) ( x +δX) = b +δb 由 Ax = b知 δAx +Aδx + δAδx= δb 即 A δx= δb - δA (x +δx)
||A|||| δx|| <= || δb||+ || δA ||||x|| + || δA ||||δx||
三角不等式
则称N(x)是R 上的一个向量范数 或模
例1 向量空间 x= (x1 , x2, x3)T
(1)
,
|x1| +|2x2| + |x3|是不是一种向量范数？
(2) |x1+3x2| +|x3|是不是一种向量范数？
解:(1) |x1| +|2x2| + |x3|是一种向量范数, 因为它满足： 正定性： |x1| +|2x2| + |x3| ≥0 且 只有x= (x1 , x2, x3)T = （0,0,0）T 时 ， |x1| +|2x2| + |x3| =0成立 齐次性：对任意常数C , ||C.X||=|Cx1| +|2Cx2| + |Cx3|= |C| (|x1| +|2x2| + |x3| )= |C|.||X|| 三角不等式：设另一向量 y= (y1 , y2, y3)T 则 x+y = (x1+y1 , x2+y2, x3+y3)T 按定义 |x1+y1| +|2x2+2y2| + |x3+y3| ≤ |x1| +|2x2| + |x3| + + |y1| +|2y2| + |y3| 即： ||X+Y|| ≤||X|| + ||Y||
此时 ( A + δA) ( X +δx) = b 由 Ax = b知 ( A + δA) δx = - δAx 即 A δx = - δA (x +δx) || δx|| = ||A-1 δA(x +δx)|| <= ||A-1 || ||δA|| (||x||+||δx||) 整理得 (1- ||A-1|| ||δA||)||δx|| <= ||A-1 || ||δA|| ||x||
则 ：x i (k) - x i* ->0
由范数的等价性知 ，存在
m || x(k) – x* || ∞ ≤ || x(k) – x* || ≤M || x(k) – x* || ∞
二、矩阵的范数 1、 定义3 ：
若矩阵A∈R n× n
N(A)=||A|| 满足
的某个非负实值函数
(1) ||A||≥0 当且仅当A=0时，||A||=0 正定性
(2) ||C.A||=|C|.||A|| C为任意常数 (3) ||A+B|| ≤||A|| + ||B|| (4) ||AB||≤||A||||B|| 相容性 则称N(A)是R n× n 上的一个矩阵范数 或模 齐次性 三角不等式
在数值计算中 , 为了进行某种估计 , 常常要比较
不同向量的范数 ,向量有时以 Ax 的形式出现 ,其
( xi )
p i 1
n
1
p
1 p
例2 已知向量 x=（1,- 2 , 2)T 求|| x||1 ， ||x||2 ， ||x||∞ 解： || x||1 =|1|+|-2|+|2|=5 ||x||2 = （12+(-2)2+22)1/2=3 ||x||∞ =max(|1| ,|-2|, |2|)= 2
3、向量范数的性质 (1) 设 x, y ∈Rn 则 | ||x|| - || y|| | <= || x-y || 证： ||x|| =|| (x-y) + y | | <= ||x-y|| + || y|| 所以 ||x|| - ||y|| <= || x-y|| 同理 ||y|| - ||x||<= ||y-x|| = ||x-y|| 也即： ||x|| - ||y|| >= - || x-y||
中A为n×n阶矩阵
A=(aij)
n× n
这就需要寻求‖ A ‖和‖Ax‖之间的某种关系
定义4 设X∈Rn ，A∈R n× n
且给出一种向量范
数||X||
则称
范数
为矩阵A的算子
2、常用的矩阵范数
----3种分别从属于三种向量的矩阵的算子范数： 记
A (aij )nn
A
A
1
（1）列范数：
max aij
所以：| ||x|| - || y|| | <= || x-y ||
（2）设 ||x||α与||x|| β是R n上任意两种向量范数， 则存在正常数m和M 使一切 x ∈Rn 有 m||x|| β <= ||x|| α <= M||x|| β 如： ||x||∞ <= ||x||1 <= n ||x||∞ ---------范数的等价性
第三章 线性代数方程组的解法
主要内容 1.高斯消去法 2. 高斯列主元消去法 3. 矩阵分解法 4.向量和矩阵的范数 5.解线性代数方程组的迭代法
第四节 向量和矩阵的范数 一、向量的范数
1. 定义1: 若向量x∈Rn 即x=(x1,x2.....xn) T ,定义某个实数值 函数 N(x)=||x||，若满足： (1) || x ||≥0 当且仅当x =0时，|| x ||=0 正定性 (2) ||C.x||=|C|.||x|| C为任意常数 (3) ||x+y|| ≤||x|| + ||y|| 齐次性
定理5 ：特征值上界定理
设 A ∈R n× n ,则 ρ(A) ≤ ||A|| ， 即A的谱半径不
超过A的任何一种范数
证明： 设λ是A的任一特征值，
x为相应的特征向量，则
Ax=λx
| λ| ||x|| =|| λx|| =||AX||<= ||A|| ||X||
所以 | λ |〈= ||A|| 也即 ρ(A)〈= ||A||
当A为对称正定 时 Cond(A) 2=| λ1| / | λn | , 其中 λ1， λn为矩阵A的最 大和最小特征值 例 求矩阵A的条件数 逆阵的求法 A-1= A* / |A| A*为A的伴随矩阵
定理4 ： 对R n上的任一种向量范数||.||，向量序列
{ x(k) } 收敛于向量x*的充要条件是：
|| x(k) – x* || 0
证明：x(k) – x* = （x1(k)-x1*, x2(k)-x2* , xn(k)-xn*）T
若 x i (k) ->x i*
|| x(k) – x* || ∞ 0 M ，m> 0 使得
2. 常用的几种向量范数：
n
设x=(x1,x2,....xn)T
1-范数：
x 1 xi x 2 ( x )
i 1 2 i i 1 n 1 2
2-范数：
( x, x )
-范数：
x
x

max xi
1 i n

上述3种向量范数统称为P-范数(或者Holder范数)
p
|| δx|| <= ||A-1 || || δb||+ ||A-1 || ||δA|| ||x||+ ||A-1 || ||δA|| ||δx||
|| δX|| -||A-1 || ||δA|| ||δx|| <= ||A-1 || || δb||
整理得 (1- ||A-1|| ||δA||)||δX|| <= ||A-1 || ||X||(
1 2 A 例 3： ，计算A的各种矩阵范数。 3 4
解：
例4：给定矩阵 பைடு நூலகம் 1 0
求矩阵 A 的1、2、
2 1 0 A 1 1 1 AT 1 1 1 A 0 1 2 0 1 2
范数。
定义2 :设向量序列 X 和向量
(K)
=(x1(K) = (x1* ,
, x2 (K) .....x n (K) ) T x2* ..... x n* )T
X*
对任意i (i=1,2...n)
有 lim xi (K) =xi* k -> ∞
则称向量序列{X (K) } 收敛于X * 记做 lim x i(K) =x i* k -> ∞
A1 3 A 2 3？？
A 3
矩阵 A 的特征值为
0, 2, 3
定义5 谱半径 设 A∈R n× n 的特征值