x2 - 3x3 = 1 (2)
-19x2 + 30x3 = -10 (3) 第二次消元： (2) × (-(-19)/1)+(3) 得
2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1)
x2 - 3x3 = 1 (2)
- 27x3 = 9 (3) b. 回代过程
x3 = 9/(-27) = -1/3， x2 = 1 + 3x3 = 1-1= 0， x1 = (4 + 4x3 + 6x2 )/2= (4+4×(-1/3)+6×0)/2 = 4/3
Xi=Di/D ( i=1, 2 , … , n ) 然而,对于较高阶的情况, 用这种方法求解是不现实的。一
个 n 阶行列式有 n! 项, 每一项又是 n 个数的乘积。就算不计舍
入误差对计算结果的影响 , 对较大的 n , 其运算量之大 [ 不考
虑加减，仅乘除次数就需 (n+1) n! (n-1) +n ] , 也是计算机在一般
一、列主元高斯消去法
列主元消去法的主要思想是：在第k次消元 时，从k列的以下的各个元素中选出绝对值最大 的元素，然后通过行交换将其交换到k行上，再 做第k次消元（同顺序高斯消去法）；回代过程 与顺序高斯消去法完全相同。
用列主元高斯消去法解线性方程组举例
例
0.01x1 + 2x2 - 0.5x3 = - 5
n
xi (bi(i)
ai(ji)xj
)
/
a(i) ii
ji1
（i =n-1,…,2,1）
四、顺序高斯消去法计算量分析
用计算机作四则运算时，加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。
1. 消元过程(共需n-1次消元） 第k次消元时需除：n-k 第k次消元时需乘：(n-k)(n-k+1) 共需乘除次数： [(n-1)+(n-1)n]+[(n-2)+(n-2)(n-1)]+…+[1+1×2]
二、顺序高斯消去法举例
例
2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1)
x1 + 4x2 - 5x3 = 3 (2)
6x1 - x2 +18x3 = 2 (3) 解 a. 消元过程
第一次消元： (1)×(-1/2)+(2) 、(1)×(-6/2)+(3) 得
2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1)
5 - 4 0.5 9
(3)-(1)*1/500 0 - 1.30 2.10 6.80 (2) (3) 0 2.01 – 0.501 - 5.02
0 2.01 – 0.501 - 5.02
0 - 1.30 2.10 6.80
5 -4
0.5
9
(3)+(2)*1.30/2.01 0 2.01 – 0.501 - 5.02
五、顺序高斯消去法计算机实现
根据一般线性方程组的求解过程知,消元过程实际 上是一个三重（层）循环，而回代过程实际上是一个 二重（层）循环。据此，我们便可编出求解线性方程 组的程序。
第二节 选主元高斯消去法
前面介绍的顺序高斯消去法,也叫顺序选主元法。 当出现主元素 akk(k) = 0 时, 消元过程将无法继续进行， 或者即使akk(k) ≠ 0时，但如果绝对值很小，用它作除 数也会导致其它元素的数量级急剧增大和舍入误差扩 大, 将严重影响计算结果的精度。为了克服这一缺陷， 下面介绍选主元高斯消去法。选主元高斯消去法有列 主元高斯消去法和全主元高斯消去法两种。我们首先 介绍列主元高斯消去法。
三、一般线性方程组的求解过程(第k次消元及回代过程)
第k次消元过程:
mik
a(k) ik
/
ak(kk) ;
a(k 1) ij
a(k) ij
mik ak(kj ) ;
b(k 1) i
bi(k )
mik bk(k )
(i, j=k+1, …, n)
回代过程:
xn bn(n) / an(nn);
回代
0
0
1.78 3.55
x3 = 1.99 , x2 = - 2.00 , x1 = 0.001
列主元高斯消去法的计算步骤（计算机实现）
1 . 消元过程 对 k = 1，2，… ，n-1 作下列运算:
(1) 按列选主元
情况下难以容许的。因此 , 我们要讨论线性方程组的另外两种
解法: 直接法和迭代法。
解线性方程组的直接法和迭代法
一、直接法 经过有限步运算就能求得精确解的方法。
包括： 1. 顺序高斯消去法 2. 选主元高斯消去法 3. 高斯—约当消去法 4. 矩阵三角分解法
二、迭代法 用某种极限过程去逐步逼近精确解的方法。
= n3/3+n2 /2-5n/6 2. 回代过程
需除：n 需乘：1+2+…+(n-1)= (n-1)n/2 共需乘除次数：n+ (n-1)n/2= n2/2+n/2 所以总共需乘除次数: n3/3+n2 /2-5n/6+n2/2+n/2 = n3/3+n2 -n/3 。 n3/3+n2 -n/3<<(n+1) n! (n-1)+n(克莱姆法则需的乘除次数),因此 顺序高斯消去法从计算量上考虑是可行的。
第三章 线性方程组的数值解法
讨论线性方程组解法的必要性
工程实际中的许多问题都归结为解线性方程组,我们知道线
性方程组
a11x1+ a12x2+ …+a1nxn=b1 a21x1+ a22x2+ …+a2nxn=b2
………
即 Ax = B
an1x1+ an2x2+ …+annxn=b2
若|A|≠ 0, 根据克莱姆(Gramer)法则, 方程组有唯一解
包括： 1. 雅可比迭代法 2. 赛得尔迭代法 3. 松弛迭代法 下面我们将介绍解线性方程组的直接法。
第一节 顺序高斯消去法
一、顺序高斯消去法的基本思想
顺序高斯消去法分为消元和回代两个过程。 首先应用矩阵的初等变换将系数矩阵A按自然顺 序化为上三角矩阵，与此同时将方程的右端向量B增 补作为A的第n+1列，构成增广矩阵，同时参加变换。 然后应用回代过程计算方程的解。
- x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5
5x1 - 4x2 + 0.5x3 = 9
解
0.01 2 - 0.5 - 5
5 - 4 0.5 9
[A,b] =
- 1 - 0.5 2 5 (1) (3) -1 - 0.5 2 5

5 - 4 0.5 9
0.01 2 - 0.5 – 5
(2)+(1)*1/5 5 - 4 0.5 9