an+2 = 3an + n ,
2
2
an+1 = 5an ,
an+2 −3an+1 + 4an = 6,
an+1 = ( an ) , an+2 = ( an+1 )( an ) .
§2 一阶线性差分方程
定义2.2 定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含 an)的项不包含数列变量的乘积, 不包含数列变 量的幂, 也不包含数列变量的诸如指数, 对数或 三角函数在内的函数, 那么我们称该差分方程 是线性的 否则差分方程就是非线性的 注意这 线性的. 非线性的. 线性的 非线性的 种限制只适用于包含数列变量的项, 而不能用 于不包含数列变量的其它项. 线性的
§1 数列的差分
例 考虑数列{an} = {1, 3, 6, 10, 15, 21, L}, 则有 {∆an} = {2, 3, 4, 5, 6, L} 以及 {∆2an} = {1, 1, 1, 1, 1, L}. 令 an = An2 + Bn + C,
1 1 C =0 A= B= 2 2 1 2 1 1 an = n + n = n(n +1) 2 2 2
月 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 本金 利息
an
$1000.000 1070.000 1144.900 1225.043 1310.796 1402.552 1500.730 16.5.781 1718.186 1838.459 1967.151 $70.0000 74.9000 80.1430 85.7530 91.7557 98.1786 105.0510 112.4050 120.2730 128.6920 137.7010
§1 数列的差分
例 求数列{an} = {n2} = {12, 22, 32, 42, 52, 62, L} 前n项和Sn, 即n个正整数平方和. 由于 {∆Sn}={(n+1)2}={22, 32, 42, 52, L}, {∆2Sn} ={2n+3} = {5, 7, 9, 11, L} 以及 {∆3Sn} = {2, 2, 2, 2, L} 令 Sn = An3 + Bn2 + Cn + D.
§1 数列的差分
数列的表示: 3. 图象法: 序列的项通过标出点(n, an) 图示. 直观, 具有可视化的效果. 4. 描述法:
§1 数列的差分 数列的一些例子
1. 假如你开了一个10000元的银行帐户, 银 行每月付给2%的利息. 假如你既不加进存 款也不取钱, 那么每个月后的存款余额就 构成一个数列.
−1 1 3 5 7 9
∆2an
2 2 2 2 2
§1 数列的差分
§2 一阶线性差分方程 一. 差分方程的基本概念 二. 齐次线性差分方程的解析解
§2 一阶线性差分方程
一. 差分方程的基本概念
定义2.1 差分方程是一种方程, 该方程表明数列 定义2.1 差分方程 中的任意项如何用前一项或几项来计算. 初始 条件是该数列的第一项. 出现在差分方程中的 条件 项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分 差分 方程的阶. 方程的阶.
§2 一阶线性差分方程
差分方程的解具有不同的形式: 数值, 图形, 公式 定义2.4 数值解是从一个或多个初值出发迭代 定义2.4 数值解 差分方程得到的一张数值表.
§2 一阶线性差分方程
例如, 在银行帐户上以7% 的利息积累起来的钱数是 由差分方程 an+1 = an + 0.07an 来确定, 其中an表示n个月 后银行中的存款数.
差分方程从数列谈起
§1 数列的差分 §2 一阶线性差分方程 §3 一阶线性差分方程组
§1 数列的差分 一. 数列的概念 二. 数列差分的概念 三. 差分表的性质
§1 数列的差分 一. 数列的概念
一个数列 数列就是实数的任何(有限或无限的) 数列 有序集. 这些数称为数列的项或元素 元素. 项 元素 用an来表示数列的第n项, 称之为数列的 通项. 通项. 定义1.1 定义1.1 一个数列 数列是一个函数, 其定义域 数列 为全体正整数(有时, 为方便计, 是全体非 负整数集合), 其值域包含在全体实数集中.
§1 数列的差分
例. 假设我们有数列{an} = {3n − 5}, 并考虑由 表给出的关于n = 1, 2, 3, L的数列. 我们按函 数值列表, 并考虑相邻项的差.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an
-2 1 4 7 10 13 16 19
∆an
3 3 3 3 3 3 3
§1 数列的差分
§1 数列的差分
§1 数列的差分
例 讨论数列 {n2 − 4n + 3}的性质 构造an = n2 − 4n + 3的前7个数列值的差分表, 并用该表确定 数列在何处增加、减少, 达到相对极大或极小, 上凹、下凹以及是否有拐点.
n 1 2 3 4 5 6 7
an
0 −1 0 3 8 15 24
∆an
§1 数列的差分
2. 兔子出生以后两个月就能生小兔, 若每 次不多不少恰好生一对(一雌一雄). 假如 养了初生的小兔一对, 则每个月小兔的对 数也构成一个数列(假设生下的小兔都不 死) 斐波那契 斐波那契(Fibonacci意大利 约11701250本名Leonardo) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
an+2 = 3an + n2 ,
2
an+1 = 5an ,
an+2 −3an+1 + 4an = 6,
非线性的 an+1 = ( an ) ,
an+2 = ( an+1 )( an ) .
§2 一阶线性差分方程
定义2.3 定义2.3 线性差分方程称为齐次的 如果它只包 齐次的, 齐次的 含数列变量的项. 如果略掉非齐次方程中不包含数列变量的项, 就得到一个齐次方程, 称之为与原方程相应的 相应的 齐次方程. 齐次方程 齐 差分的物理和几何意义 在物理方面, 一阶差分表示物体运动的平均速 度, 二阶差分表示平均加速度. 在几何方面, 一阶差分表示数列图形中相邻两 点连线的斜率. . 例. 外出汽车旅行, 每小时记录下里程表的读数. 设A ={an} ={22322, 22352, 22401, 22456, 22479, 22511}, ∆A = {∆an} = {30, 49, 55, 23, 32},
§1 数列的差分
由S1 = 1, S2 = 5, S3 = 14, S4 = 30得 A + B + C + D =1, 8A +4B + 2C + D =5(23 A +22 B +2C + D =5), 27A + 9B + 3C + D =14(33A + 32B + 3C + D =14), 64A + 16B+ 4C + D =30(43A + 42 B+ 4C + D =30), 解关于A, B, C和D的方程组可得 A = 1/3, B = 1/2, C = 1/6, D = 0, 则
§1 数列的差分
数列A在第k项处上凹 若∆ak > ∆ak−1(或用二阶 上凹, 上凹 差分的算子记号, ∆2ak−1 > 0). 数列A在第k项处下凹 若∆ak < ∆ak−1(或∆2ak−1 < 0). 下凹, 下凹 注意: 注意 在k−1处的二阶差分决定了k项处的凹性. 决定凹性的另一种看法是: 当一阶差分增加时 数列上凹, 而当一阶差分减小时数列下凹. 定义1.4 定义1.4 数列A在第k项处有一个拐点 倘若∆2ak 拐点, 拐点 和∆2ak−1有不同的正负号.
§1 数列的差分
二. 数列差分的概念
数列相邻项的差, 称为数列的差分 差分. 差分 定义1.2 定义1.2 对任何数列A = {a1, a2, L}, 其差分算子 差分算子 ∆(读作delta)定义如下: ∆a1 = a2 − a1, ∆a2 = a3 − a2, ∆a3 = a4 − a3, L, 一般地, 对任何n有 ∆an = an+1 − an,
1 3 1 2 1 1 Sn = n + n + n = n(n +1)(2n +1). 3 2 6 6
§1 数列的差分
三. 差分表的性质和应用
定义1.3 定义1.3 数列A = {an}在第k项处是增的 若 ak < 增的, 增的 ak+1(或用算子记号, ∆ak > 0). 数列A在第k项处是减的 若ak > ak+1(或∆ak < 0). 减的, 减的 数列A在第k项处达到相对极大 若ak > ak+1而 相对极大, 相对极大 ak ≥ ak−1(或用算子记号, ∆ak−1 ≥ 0而∆ak < 0). 相对极小, 数列A在第k项处达到相对极小 若ak < ak+1而 相对极小 ak ≤ ak−1(或∆ak−1 ≤ 0而∆ak > 0).
§1 数列的差分
定理1.1 定理1.1 若c和b为常数且对所有n = 1, 2, 3, L有 an = cn + b, 则: 1. 对所有n, 数列{an}的差分为常数; 2. 当画an关于n的图形时, 这些点都落在 一条直线上. 定理1.2 定理1.2 若∆an = c, 其中c是一个与n无关的常数, 则有一个an的线性函数(即存在常数b使 an = cn + b).
ak+1 = (1.07)k+1c = (1.07)k c + 0.07(1.07)k c,